¿Alguien puede dar un ejemplo de una serie de funciones$f_k(x)$ para las cuales$\sum_{k=0}^{\infty} f_k(x)$ converge uniformemente, y$\sum_{k=0}^{\infty} |f_k(x)|$ converge en un sentido, pero$\sum_{k=0}^{\infty} |f_k(x)|$ no converge uniformemente?
Estoy teniendo problemas para encontrar un ejemplo (o probar que esto es imposible), ya que no hay certeza de que el límite de la serie absoluta y relativa sea igual.
Tome $f_n(x)=(-1)^n {x^n\over n}$$n\ge 1$$[0,1)$.
Entonces si $n$ $m$ son enteros positivos con $m\ge n$$x\in[0,1)$: $$ |f_n(x) +f_{n+1}(x)+\cdots +f_m(x)|\le| f_n(x)| ={x^n\sobre n}\le {1\over n}. $$ Esto implica que $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ converge uniformemente en $[0,1)$.
La serie $\sum\limits_{n=1}^\infty |f_n(x)|$ converge en $[0,1)$ como la comparación con la serie $\sum\limits_{n=1}^\infty x^n$ se muestran.
Pero $\sum\limits_{n=1}^\infty |f_n(x)|$ no converge uniformemente en $[0,1)$; ya que, por cualquier $n$, $$ |f_n(x)| +|f_{n+1}(x)|+\cdots +|f_{2n}(x)| \ge {1\over 2n} \cdot nx^{2n}, $$ y $\lim\limits_{x\rightarrow1^-} x^{2n} =1$.
Yo creo que cualquier absolutamente convergente pero no uniformemente convergente la serie de positivos, la disminución de los términos de $f_n$ $(f_n)$ convergen uniformemente a 0 proporcionaría un contraejemplo por lo que la serie "la alternancia".
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