Es $[F(x) : F] = 4$ si $x$ es una raíz de $X^8 + 2 X^4 + 1$ ?

Question

Sea $K / F$ sea una extensión de campo y sea $x \in K$ sea una raíz del polinomio $X^8 + 2 X^4 + 1$ . No es difícil demostrar que $[F(x) : F] \leq 4$ pero, ¿podemos escribir $[F(x) : F] < 4$ para cualquier caso? Desde $X^8 + 2 X^4 + 1 = {(X^4 + 1)}^2$ entonces $x$ es una raíz de $X^4 + 1$ . Necesitaba este argumento para demostrar que $[F(x) : F] \leq 4$ . He pensado en suponer que $[F(x) : F] < 4$ y llegar a una contradicción, pero, por ejemplo, ¿cómo puedo demostrar que $x \notin F$ ? Es lo mismo que mostrar $[F(x) : F] \neq 1$ y no encuentro aquí ninguna contradicción que ponga fin a mi prueba. Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Depende del ámbito $F$ . Si $F$ contiene una cuarta raíz de $-1$ entonces $x \in F$ y $[F(x):F] = 1$ . Si $F$ contiene una raíz cuadrada de $-1$ entonces $X^4+1 = (X^2+\sqrt{-1})(X^2-\sqrt{-1})$ Así que $[F(x):F] \leq 2$ .

Un ejemplo del primer fenómeno es, digamos, $F = \mathbb{Q}(\sqrt[4]{-1})$ o si lo prefiere, $\mathbb{Q}\Big(\frac{1+\sqrt{-1}}{2}\Big)$ un subcampo concreto de $\mathbb{C}$ . Entonces $x \in F$ y $[F(x):F]=1$ .

Un ejemplo del segundo fenómeno es $F = \mathbb{Q}(\sqrt{-1}) = \mathbb{Q}(\sqrt{-1})$ . Entonces $x^2 \in F$ (porque $x^2 = \pm \sqrt{-1}$ ) y $[F(x):F] \leq 2$ .

Para $F = \mathbb{Q}$ tenemos $[F(x):F]=4$ . Para ver esto, tenemos que demostrar que el polinomio mínimo de $x$ es $X^4+1$ por lo que sólo tenemos que demostrar que $X^4+1$ es irreducible. Podemos utilizar el criterio de Eisenstein, con una sustitución de $X+1$ para $X$ : [ (X+1)^4 + 1 = X^4 + 4 X^3 + 6 X^2 + 4 X + 2, ] que es irreducible sobre $\mathbb{Z}$ por lo que también lo es $X^4+1$ (e irreducible sobre $\mathbb{Q}$ por el lema de Gauss).

Answer 2

Si $F$ es el campo de dos elementos, entonces $X^8+2X^4+1=(X+1)^8$ por lo que la única raíz del polinomio es $1$ y, por supuesto, $F(x)=F$ .

El título también puede ser $2$ ou $4$ . Por ejemplo, si el campo base es $\mathbb{R}$ entonces $X^4+1$ es reducible: $$ X^4+1=(X^2-\sqrt{2}\,X+1)(X^2+\sqrt{2}\,X+1) $$ y los dos factores son irreducibles, ya que tienen discriminante negativo. Por tanto, cualquier raíz del polinomio tiene grado $2$ en $\mathbb{R}$ .

Si $F$ es el campo racional, entonces $X^4+1$ es irreducible y las raíces tienen grado $4$ en $\mathbb{Q}$ .