(Edit: yo un poco confundida con su pregunta. En esta respuesta de "la única factorización" significa "ideales", no de los elementos.)
Voy a tratar de dar una respuesta básica, aunque todavía estoy aprendiendo acerca de estas cosas a mí mismo. El tipo de no-factorización única que ha identificado es debido al hecho de que $\mathbb{R}$ no es algebraicamente cerrado, y no es tan interesante como otro tipo de no-factorización única, que voy a ejemplificar con $\mathbb{C}[x, y]/(y^2 - x^3)$. Tales anillos surgir como anillos de funciones en las curvas algebraicas, y en ese caso uno puede identificar exactamente cuál es la causa única de la factorización de a fallar, que es la existencia de singularidades (aquí, en el punto de $(x, y) = (0, 0)$).
Más precisamente, se sabe que el anillo de funciones en una curva algebraica $f(x, y) = 0$ tiene la única factorización de ideales si y sólo si cada punto es nonsingular en el sentido de que las derivadas parciales $\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}$ nunca simultáneamente se desvanecen. La intuición geométrica aquí es que a nivel local, en un punto singular de una variedad se ve como la intersección de un número de líneas, es decir, es "localmente reducible," por lo que el ideal maximal asociado a ese punto no es generado por un elemento. Para $\mathbb{C}[x, y]/(y^2 - x^3)$ el punto singular en $(0, 0)$ es una cúspide donde dos líneas se encuentran y la correspondiente ideal generado por a $x$ $y$ pero satisface una relación no trivial, y este es, precisamente, que no es único de la factorización. Más en general creo que uno puede caracterizar los ideales sin factorización única, precisamente, como los ideales de fuga en puntos singulares.
De todos modos, el resultado de todo esto es que como Greg indica, es posible que las variedades que tienen un montón de desagradables singularidades. Por otro lado, es relativamente fácil para solucionar este problema de la curva algebraica caso: la integral el cierre del anillo de las funciones especiales de factorización.
(De nuevo, todavía estoy aprendiendo sobre esta materia, así que si he malinterpretado algo, por favor hágamelo saber!)
O tal vez sólo quería saber algo acerca de su caso específico. Hacer la sustitución $x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, y = \frac{2t}{1 + t^2}$; a continuación, por ejemplo, $x^2 = (1 + y)(1 - y)$ puede ser escrito como $(1 - t^2)^2 = (1 + 2t + t^2)(1 - 2t + t^2)$. Así que aquí el fracaso de la única factorización es bastante simple: ciertos polinomios en $t$ están siendo tratados como prime que "no debería ser". Por otro lado cualquier polinomio en $x, y$ que, cuando se escribe como una función racional en $t$, evita estas anómalas de los números primos, se tiene la costumbre factorización prima propiedades como un polinomio en $t$, pero estos factores primos no necesariamente provienen de polinomios en $x, y$.
