Combinaciones de ingredientes para pizza con al menos una verdura y al menos una carne.

Question

Aquí hay una pregunta de mi cuestionario:

La Pizzería Superior tiene siete ingredientes vegetales y nueve ingredientes de carne. El número de formas de seleccionar cinco ingredientes (sin duplicar ingredientes) con al menos un ingrediente vegetal en una pizza es:

Y hay soluciones de opción múltiple:

• $4242$
• $4221$
• $4368$
• $4347$
• Ninguna de las anteriores.

De manera similar, ¿cuántas formas podemos seleccionar cinco ingredientes con al menos un ingrediente de carne y uno vegetal?

La forma en que intenté abordar la primera (y la segunda, ya que son similares) es la siguiente:

$$ {7 \choose 1} \cdot P(15 \space\space 4) $$

Hice esto porque sé que necesito 1 vegetal, y el resto puede ser cualquiera de los 15 ingredientes restantes.

Sin embargo, obtuve una respuesta absurdamente grande que no creo que sea correcta. Todavía no tengo la respuesta correcta, pero sé que saqué un $8/10$ en el cuestionario y creo que estos dos son los que hice mal. ¿Puede alguien ayudarme a resolver esto correctamente?

Answer 1

Para la primera pregunta, quieres combinaciones, no permutaciones, ya que solo te importa qué ingredientes hay en la pizza. Si seleccionas una verdura primero, contarás dos veces las pizzas con dos vegetales, una vez donde cada verdura es la primera. Un enfoque mejor es contar el número total de pizzas de cinco ingredientes, luego restar las que no tienen vegetales.

Answer 2

El número total de formas de $5$ ingredientes es $\dbinom{16}5$. El número de formas de ningún ingrediente vegetal es $\dbinom{9}5$. Por lo tanto, el número total de formas es $$\dbinom{16}5-\dbinom95 = \dfrac{16\times15\times14\times13\times12-9\times8\times7\times6\times5}{120} = 4242$$

Answer 3

Al menos un ingrediente de verdura significa que puede haber 1, 2, 3, 4 o 5 ingredientes de verdura, por lo que la respuesta es $\binom{7}{1}.\binom{9}{4}+\binom{7}{2}.\binom{9}{3}+\binom{7}{3}.\binom{9}{2}+\binom{7}{4}.\binom{9}{1}+\binom{7}{5}.\binom{9}{0}$=4242 (Opción Uno).