Ecuaciones diofantinas$z^2+2^y=3^x $ y$ z^2+4=5^n$

Question

Cómo se esperan los valores posibles de$(x, y, z) = (0, 0,0), (1, 1, 1)$ y$(3, 1, 5)$ de la ecuación$3^x -2^y = z^2$ sin inspección.

Por qué$n = 1$ y$3$ son válidos para$5^n - 4 = z^2$.

¿Hay algún otro$n$, aparte de estos$1$ y$3$? sin inspeccionar cómo probamos las soluciones / ¿cómo encontraremos otras soluciones si las hay?

Prema

Answer 1

He echado un vistazo a la primera, y han logrado hacer una cantidad decente de progreso. Sospecho que a más (o a hacer la segunda pregunta), habría que pasar en los enteros de Gauss, que no estoy acostumbrado a trabajar con el, así que voy a darte lo que tengo en el momento.

Se nos da:

$3^x-2^y=z^2$

Voy a empezar por considerar el caso cuando uno u otro de $x$$y$$0$. Si $x=0$,$z^2+2^y=1$, y está claro que la única solución es $x=y=z=0$ o $(0,0,0)$. Si $y=0$,$3^x-1=z^2$. Ya no hay plaza número es uno menos que un múltiplo de $3$ (por simple aritmética $\mod 3$), $3^x=1$ y, de nuevo, la única solución es $x=y=z=0$. Así que de ahora en adelante podemos asumir que $x$ $y$ son estrictamente positivos. Esto significa que $3^x-2^y \neq 0$ ($3^x$ es impar y $2^y$ es aún), por lo $z>0$. También significa que $z$ no es un múltiplo de a $2$ ni un múltiplo de $3$.

Primero supongamos que $x$ es aún, y escribir $x=2k$. Por lo $3^{2k}-2^y=z^2$. Reorganización de esto, conseguimos $2^y=(3k)^2-z^2$, que podemos factorizar para dar a $2^y=(3k+z)(3k-z)$. Esto significa que $(3k+z)$ $(3k-z)$ son ambos poderes de $2$ - escribir:

$3k+z=2^a\; \;$ (1)

$3k-z=2^b\; \;$ (2)

Ahora, restando (2) de (1) da $2z=2^a-2^b$. Desde $z>0$, $2^a>2^b$. Sumando (1) y (2) da $2 \times 3^k = 2^a+2^b$. Por lo $3^k=2^{a-1}+2^{b-1}$. Desde $3^k$ es impar, $2^{b-1}=1$. Así, la configuración de $c=a-1$, podemos ver que $3^k=2^c+1$ y $z=2^c-1$. Así que todas las soluciones donde $x$ es incluso son de la forma $3^{2k}-2^{c+2}=(2^c-1)^2$ donde $3^{2k}=(2^c+1)^2$. Los únicos poderes de $3$, que es uno más de una potencia de $2$ $3^1=2^1+1$ $3^2=2^3+1$ (ver abajo), que el rendimiento de las soluciones de $(2,3,1)$$(4,5,7)$.

Ahora supongamos que en lugar de que $x$ es impar, y escribir $x=2k+1$. Por lo $3^{2k+1}-2^y=z^2$. Podemos reescribir esto como $3 \times 3^{2k}-2^y=z^2$, y luego reorganizar esto a $3^{2k}-z^2=2^y-2 \times 3^{2k}$. Podemos factorizar esta como $(3^k-z)(3^k+z)=2(2^{y-1}-3^{2k})$. Puesto que los dos factores de la izquierda se diferencian por $2z$, lo que es aún, ellos son tanto o incluso a un extraño. Pero desde el lado derecho es aún, al menos uno de ellos debe ser par. Así que ambas deben ser aún. Esto significa que $2(2^{y-1}-3^{2k})$ es un múltiplo de a $4$, lo $(2^{y-1}-3^{2k})$ es incluso. Desde $3^{2k}$ es extraño para cualquier $k$, $2^{y-1}$ debe ser impar. Por lo $2^{y-1}=1$, y por lo tanto $y-1=0$, lo $y=1$.

Esto reduce el '$x$ es impar' caso para el caso más sencillo $3^x-2=z^2$, que parece como si se va a requerir de los enteros de Gauss para resolver. Dos soluciones, que se le dé, se $(1,1,1)$$(3,1,5)$.

En resumen:

$0$. $x=y=z=0$ es la solución si $x$ o $y$$0$. Si $x \neq 0 \neq y$, entonces hay dos casos a considerar:

$1$. Si $x$ es par, entonces todas las soluciones están dadas por la identidad de $(2^a+1)^2−4×2^a=(2^a−1)^2$ donde $(2^a+1)$ es una potencia de $3$.

$2$. Si $x$ es impar, entonces $y=1$, y el problema es similar a la pregunta $2$.

Una rápida prueba de que los únicos poderes de $3$, que es uno más de una potencia de $2$ $3^1$ $3^2$ escritura $3^x=2^y+1$. Ahora si $y$ es incluso, a continuación, $2^y$ es un cuadrado, por lo $3^x$ no puede ser un múltiplo de $3$ (por aritmética $\mod 3$), por lo $3^x=1$. Pero eso significa que $2^y=0$, lo cual es una contradicción. Por lo $y$ es impar.

Ahora supongamos $x$ es incluso. Entonces podemos escribir $3^{2k}-1=2^y$ y factorizar el lado izquierdo para darle a $(3^k+1)(3^k-1)=2^y$. Por lo $(3^k+1)$ $(3^k-1)$ son dos potencias de $2$ diferenciándose por $2$; el único par de es$2$$4$, lo $3^k=3$. Por lo $3^x=9$, dando $2^y=8$.

Supongamos que en lugar de que $x$ es impar. Deje $x=2k+1$ $y=2r+1$ $y$ es impar. Ahora podemos ver que $3^{2k+1}-1=2^{2r+1}$. Podemos escribir esto como $3 \times 3^{2k}-1=2 \times 2^{2r}$ y reorganizar esto para dar a $3^{2k}-1=2(2^{2r}-3^{2k})$, lo que nos puede factorizar como $(3^k-1)(3^k+1)=2(2^r-3^k)(2^r+3^k)$. Ahora $(3^k-1)$ $(3^k+1)$ difieren por $2$, por lo que son tanto o incluso a un extraño. Debido a que el factor de $2$ sobre el lado derecho, ambos son incluso (y $3^k$ es impar), de modo que el lado derecho debe ser un múltiplo de $4$. De modo que al menos uno de $(2^r-3^k)$ $(2^r+3^k)$ es regular, lo que significa que $2^r$ debe ser impar. Por lo $2^r=1$, lo que significa que $2^y=2$, dando $3^x=3$.