$\sum a_n$ converge absolutamente, hace converger $\sum (a_n + \cdots + a_n^n)$

Question

Supongamos que $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge absolutamente. ¿Esto implica que converge la serie $$\sum_{n=1}^\infty (a_n + \cdots + a_n^n)$ $?

Creo que la respuesta es sí, pero no puedo encontrar la manera de demostrarlo. Cualquier ayuda sería apreciada.

Gracias.

Answer 1

Después de un tiempo, $|a_k| \lt \frac{1}{2}$.

A partir de ese momento, $$|a_k+a_k^2+a_k^3+\cdots +a_k^k| \le |a_k|+\frac{1}{2}|a_k|+\frac{1}{4}|a_k|+\cdots+\frac{1}{2^{k-1}}|a_k|\le 2|a_k|.$ $ así que en comparación la serie converge absolutamente.

Answer 2

Otra forma de verlo es que cada término es menor que $a_n + a_n^2 + a_n^3 + ...$ que, cuando es de $a_n < 1$ $\frac{a_n}{1-a_n}$. Cuando $a_n < \frac{1}{2}$ y $\frac{a_n}{1-a_n} < 2a_n$.