Busque el área delimitada por dos acordes desiguales y un arco en un disco

Question

Matemáticas personas:

Esta pregunta es una generalización de la que me he planteado en Encontrar el área limitada por dos cuerdas y un arco en un disco . Abajo es una imagen de un círculo unitario con centro de $O$. $\theta_1, \theta_2 \in (0, \pi)$ y $\gamma \in (0, \min(\theta_1,\theta_2))$. $\theta_1 = \angle ROS$, $\theta_2 = \angle POQ$, y $\gamma = \angle ROQ$. Quiero encontrar el área de la región sombreada con esquinas $P$, $R$, y $T$. Si $\theta_1 = \theta_2 = \theta$, entonces el área es $\frac{\theta-\gamma}{2}-\tan(\frac{\theta-\gamma}{2})\cos^2(\frac{\theta}{2})$. Yo estoy en el medio de la derivación de una fórmula para el área de $\theta_1$ $\theta_2$ no son necesariamente iguales. Sospecho que esto se ha hecho antes, pero no puedo encontrar una referencia. No quiero probarlo, componer una prueba, y afirman haber descubierto la fórmula para el área si alguien lo ha hecho antes. Alguien ha visto este problema antes, y nadie puede proporcionar una referencia?

ACTUALIZACIÓN: me derivar una fórmula para el área. Es

$$\left(\frac{\theta_2}{2}-\frac{\sin(\theta_2)}{2}\right)-\left(\frac{\gamma \sin(\gamma)}{2}+ \frac{2\sin^2(\frac{\gamma}{2}) \sin(\frac{\theta_1-\gamma}{2}) \sin(\frac{\theta_2-\gamma}{2})} {\sin(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}-\gamma)}\right)$$

Por desgracia, si $\theta_1 = \theta_2 = \gamma$, consigue $0$ en el denominador. Pero si $\theta_1=\theta_2=\theta$ y tomar el límite cuando $\gamma \to \theta$, se obtiene el valor correcto.

Por supuesto, si alguien puede encontrar una referencia en la que alguien ya ha encontrado una fórmula para el área, que también serán bienvenidos.

Stefan (Intercambio de la Pila del VENTILADOR)

Answer 1

Si vas a hacer un artículo para su publicación sugiero que haga una figura como la de aquí abajo. Se puede mencionar que la integral doble sobre la región en gris es el que dice ser. Si aquí $D$ es la región en gris en la figura de abajo, a continuación, $$ \mathop{\int\!\!\int}_{D\subconjunto \mathbb{R}} dA= \mbox{ área de } D $$ O usted puede sugerir a su lector de la manera que usted desea que el valor del área de $D$.

Si una figura no es conveniente, a continuación, hacer una descripción formal de la región de $ D $ en términos de las ecuaciones $ y = mx + n $ de las líneas de la $ \overline{SR} $$ \overline{QP} $) y la ecuación de la circunferencia $ x^2 + y^2 = r^2 $. Vamos a decir que es el conjunto $ D $ es algo así como $$ D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R} : \begin{array}{l} y \leq m_{\tiny\overline{SR} }x + n_{\tiny\overline{SR} } \\ y \geq m_{\tiny\overline{PQ}}x + n_{\tiny\overline{PQ}} \\ x^2 + y^2 \leq r^2 \end{array} \right\} $$