Buscar el valor de

Question

Encuentra el valor de$a^4-a^3+a^2+2$ cuando$a^2+2=2a$

Mi intento,

$$a^4-a^3+a^2+2=a^4-a^3+2a$ $$$=a(a^3-a^2+2)$ $

¿Que sigue?

Answer 1

$a^4-a^3+a^2+2=(a^2+a+1)(a^2-2a+2)=0$.

También podemos verificar$a=1+i$ y$a=1-i$.

Answer 2

Sugerencia $\ $ Buscamos el valor de$\,f(a)\,$ dado que$\, g(a) = a^2-2a+2 = 0.\,$ Por el algoritmo de división polinómica podemos escribir$\ f = q\,g + r\,$ así que$\, g=0\,\Rightarrow\, f = r = f\bmod g.\,$ Así que basta con calcular el resto$\, r = (f\bmod g).\,$ Hacerlo fácilmente produce$\,f = r = 0.$

Debido a que$\, g = 0\,$ podemos realizar todos los módulos aritméticos$g.\,$ Este es el punto de la aritmética modular: cuando solo estamos interesados en el resto, podemos ignorar los cocientes. Esto es exactamente lo que se hace (implícitamente) en la respuesta de Stefan4024.

Answer 3

Obviamente$a \not = 0$. Luego tenemos$a^4 = 2a^3 - 2a^2$ al multiplicar la condición por$a^2$, por lo que la ecuación se convierte en:$a^3 - a^2 + 2$. De manera similar,$a^3 = 2a^2 - 2a$, por lo que la ecuación se convierte en:$a^2 - 2a + 2 = 0$

Answer 4

Probablemente la solución más "sin inspiración" (y, por lo tanto, fácil de alcanzar) es resolver la acción cuadrática para dar$a = 1 \pm i$

Luego, sustituye una de estas soluciones en la expresión quártica y muestra que desaparece. No es necesario probar la otra raíz (compleja conjugada) sustituyéndola en el quártico, ya que tiene coeficientes reales y, por lo tanto, será cero en el otro caso.