Cómo encontrar $ \lim\limits_{x\to 0} \left(\frac {\tan x }{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}$ .

Question

¿Puede alguien ayudarme con este límite? Estoy trabajando en ello durante horas y no puedo resolverlo.

$$ \lim_{x\to 0} \left(\frac {\tan x }{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}$$

Empecé a transformar a la forma $ \lim_{x\to 0} e^{ {\frac{\ln \left(\frac {\tan x}{x} \right)}{x^2}} }$ y aplicó la regla de l'Hopital (ya que la indeterminación $\frac00$ ), obteniendo:

$$ \lim_{x\to 0} \left( \frac{2x-\sin 2x }{2x^2\sin 2x} \right)$$

A partir de aquí, intento continuar con varias formas de sustituciones trigonométricas, aplicando la regla de l'Hopital una y otra vez, pero no tengo suerte. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Siempre que tengamos una expresión en la que tanto la base como el exponente sean variables, es mejor tomar los logaritmos. Así, si $L$ es el límite deseado, entonces \begin{align} \log L &= \log\left\{\lim_{x \to 0}\left(\frac{\tan x}{x}\right)^{1/x^{2}}\right\}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\log\left(\frac{\tan x}{x}\right)^{1/x^{2}}\text{ (via continuity of log)}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{1}{x^{2}}\log\left(\frac{\tan x}{x}\right)\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{1}{x^{2}}\cdot\frac{\tan x - x}{x}\cdot\dfrac{\log\left(1 + \dfrac{\tan x - x}{x}\right)}{\dfrac{\tan x - x}{x}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\tan x - x}{x^{3}}\cdot 1\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\sec^{2} x - 1}{3x^{2}}\text{ (via L'Hospital's Rule)}\notag\\ &= \frac{1}{3}\lim_{x \to 0}\frac{\tan^{2}x}{x^{2}}\notag\\ &= \frac{1}{3}\notag \end{align} Por lo tanto, $L = e^{1/3}$ .

Answer 2

Dejemos que $\displaystyle y(x) =\ln\left[\left(\frac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}\right] =\frac{1}{x^2}\ln\left(\frac{\tan x}{x}\right)$ y, a continuación, utilizando varias veces la regla de regla de L'Hôpital varias veces, \begin{align} \lim_{x\to 0}y(x)&=\lim_{x\to 0}\frac{\ln\left(\frac{\tan x}{x}\right)}{x^2}\\ &\stackrel{{\rm H}}{=} \lim_{x\to 0}\frac{\frac{x}{\tan x}\cdot\frac{x\sec^2x-\tan x}{x^2}}{2x}\tag{1}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{x\sec^2x-\tan x}{2x^2\tan x}\\ &\stackrel{{\rm H}}{=} \lim_{x\to 0}\frac{\sec^2x+2x\sec^2x\tan x-\sec^2 x}{4x\tan x+2x^2\sec^2x}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{2\sec^2x\tan x}{4\tan x+2x\sec^2x}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{2\sec^2x}{4+2\left(\frac{x}{\sin x}\right)\sec x}\\ &=\frac{2\lim_{x\to 0}\sec^2x}{4+2\left(\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}\right)\left(\lim_{x\to 0}\sec x\right)}\\ &=\frac{1}{3}. \end{align} Por lo tanto, $\displaystyle \lim_{x\to0}\left(\frac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}} =\lim_{x\to0}e^{y(x)} =e^{\lim_{x\to0}y(x)}=e^{\frac{1}{3}}$ . Observe que $(1)$ se mantiene porque $$\lim_{x\to0}\ln\left(\frac{\tan x}{x}\right) =\ln\left(\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}\right) \stackrel{{\rm H}}{=} \ln\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sec^2 x}{1}\right)=\ln(1)=0,$$ de lo que se deduce que $\displaystyle \frac{\ln\left(\frac{\tan x}{x}\right)}{x^2}\rightarrow\frac{0}{0}$ y podemos utilizar la regla de L'Hôpital.

Answer 3

Si se nos permite utilizar Ampliación de la serie ,

$\tan x=x+\dfrac{x^3}3+O(x^5)$

$$\lim_{x\to0}\left(\dfrac{\tan x}x\right)^{1/x^2}=\left(\lim_{x\to0}\left(1+\dfrac{x^2}3+O(x^4)\right)^{1/(1+x^2/3+O(x^4))}\right)^{\lim_{x\to0}\dfrac{1+x^2/3+O(x^4)}{x^2}}$$

Establecer $\dfrac1{1+x^2/3+O(x^4)}=n$ en el límite interior

¡Puedes llevarlo desde aquí!

Answer 4

Si $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=1$ y $\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\infty$ entonces, $$\lim_{x\rightarrow a}f(x)^{g(x)}=e^{\lim_{x\rightarrow a}(f(x)-1)g(x)}$$

Esto es así porque: Dejemos que $f$ y $g$ sean funciones tales que $\lim_{x\rightarrow a}f=1$ y $\lim_{x\rightarrow a}g=\infty$ .

Dejemos que $$L=\lim_{x\rightarrow a}f^g$$ $$\log L=\log(\lim_{x\rightarrow a}f^g)$$ $$\log L=\lim_{x\rightarrow a}\log(f^g)$$ $$\log L=\lim_{x\rightarrow a}g\log(f)$$ $$L=e^{\lim_{x\rightarrow a}g\log(f)}$$ $$L=e^{\lim_{x\rightarrow a}g\frac{\log(f)}{f-1}(f-1)}$$ $$L=e^{\lim_{x\rightarrow a}g\lim_{x\rightarrow a}\frac{\log(f)}{f-1}\lim_{x\rightarrow a}(f-1)}$$ $$\lim_{x\rightarrow a}\frac{\log(f)}{f-1}=1$$ Así, $$L=e^{\lim_{x\rightarrow a}g(f-1)}$$

Aquí, $$ \lim_{x\to 0} \left(\frac {\tan x }{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to 0} e^{\left(\frac {\tan x }{x} -1\right){\frac{1}{x^2}}}=\lim_{x\to 0} e^{\left(\frac {\tan x -x}{x^3}\right)}=\lim_{x\to 0} e^{\left(\frac {x+\frac{x^3}{3}+O(x^5) -x}{x^3}\right)}=e^{\frac13}$$

Answer 5

Está en la forma estándar de $1^{\infty}$

El valor general de este tipo de límites es $e^{\lim_{ x \rightarrow 0}{(f(x)-1)g(x)}}$

Aquí $f(x)=\frac{\tan x}{x},g(x)=\frac{1}{x^2}$

Por lo tanto, es necesario encontrar $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-x}{x^3}$

Ahora, aplica L Hospital para obtener $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \tan x -x}{x^3}=\frac{ \tan ^2 x}{3x^2}=\frac{1}{3}$

Por lo tanto, el límite es $e^{\frac{1}{3}}$