Al graficar el dispositivo, entiendo que$x^2+xy+y^2=1$ es elipse. Por alguna geometría encuentro un área de la elipse anterior que sale$\pi$ (¿es correcto?), Pero fue un caso fácil. ¿Hay algún método rápido o fórmula estándar para calcularlo o tenemos que convertirlo siempre en un formulario estándar y luego calcularlo?
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heropup
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Sabemos que tal elipse debe ser simétrica con respecto a la línea$x = y$, ya que intercambiar las variables nos da la misma ecuación. Por lo tanto, hay un eje en esta línea y se resuelve el sistema$$\begin{align*} x^2 + xy + y^2 &= 1, \\ x &= y, \end{align*}$$ gives $$(x,y) = \pm (1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3}).$$ This means the length of this axis is $ 2 \ sqrt {2/3}$. We can also verify in a similar fashion that the ellipse is invariant with respect to the transformation $ (x, y) \ to (-y, -x)$; that is to say, the perpendicular axis is found by solving the system $$\begin{align*} x^2 + xy + y^2 &= 1, \\ x &= -y, \end{align*}$$ which gives $$(x,y) = \{(-1,1), (1,-1)\}.$$ Thus this axis is the major axis and has length $ 2 \ sqrt {2}$; the ellipse has total area $$\pi ab = \pi (\sqrt{2})( \sqrt{2/3}) = 2\pi/\sqrt{3}.$ PS
Por supuesto, este fue un método que es exclusivo de este caso solamente. Pero quería mostrar que un enfoque elemental puede ser un control útil contra el enfoque general de las transformaciones de coordenadas.
Supongamos que a tiene la cónica $Ax^2+2Bxy+Cy^2=1$ asociado con la matriz simétrica $$ M=\begin{pmatrix}A & B \\ B & C\end{pmatrix}. $$ Tal cónica es una elipse iff $A>0, C>0$ y $\det M=AC-B^2>0$. $\det M$ es igual al producto $\lambda_1 \lambda_2$ el (verdadero positivo) los autovalores de a $M$ y por el teorema espectral el área encerrada por la elipse está dada por $$ \iint_{(x\, y)M(x\, y)^T \leq 1} 1\,dx\,dy = \iint_{\lambda_1 x^2+\lambda_2 y^2\leq 1}1\,dx\,dy =\frac{1}{\sqrt{\lambda_1\lambda_2}}\iint_{x^2+y^2\leq 1}1\,dx\,dy.$$ De ello se desprende que en virtud de las anteriores limitaciones, el área encerrada por $Ax^2+2Bxy+Cy^2=1$ está dado por $$\mathcal{A}=\color{red}{\frac{\pi}{\sqrt{AC-B^2}}}=\frac{2\pi}{\sqrt{-\Delta}}.$$ Es sencillo comprobar que $A=C=1$ $B=\frac{1}{2}$ cumplir con las restricciones anteriores, por lo tanto el área encerrada por la elipse $x^2+xy+y^2=1$ está dado por $\color{red}{\frac{2\pi}{\sqrt{3}}}$.
Observación: no es necesario para calcular el espectro de la forma de $M$ para hallar el área encerrada por su elipse, $\det M$ es suficiente.
Raffaele
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Si la cónica $ Q(x,y) = ax^2 + by^2 + c + 2hxy + 2fy + 2gx$ es una elipse, si queremos traducir el origen de nuestro sistema de coordenadas en el centro de la $ Q$ a obtener,
$$ {R(X,Y) = Q(X + u, Y + v)} = aX^2 + b Y^2 + 2hXY + c^\prime$$
donde $(u, v)$ es el centro de la cónica dada. Necesitamos encontrar a $(u, v)$ $c^\prime$ (prácticamente sólo necesitamos $c'$).
De todos modos $(u, v)$ es la solución de $$\begin{cases}\dfrac{\partial Q}{\partial x} = 0 \\ \dfrac{\partial Q}{\partial y} = 0 \end{cases}$$
y $c^\prime$ está dado por $ c^\prime =\dfrac{\Delta}{\delta}$ donde $$\delta = \begin{vmatrix} a & h \\ h & b\end{vmatrix}.$$ and $$\Delta = \begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix}.$$
El problema se reduce a hallar el área de la curva de $R(X, Y) = 0$, que es equivalente a encontrar el área de $ S (X, Y) = \dfrac{-a}{c^\prime}X^2 + \dfrac{-b}{c^\prime} Y^2 + 2\dfrac{-h}{c^\prime}XY - 1$.
Deje que $\alpha = \dfrac{-a}{c^\prime} , \beta = \dfrac {b}{c^\prime}$ and $\gamma = \dfrac {h}{c^\prime}$, then we have $ S(X, Y) = \alpha X^2 + \beta Y^2 + 2\gamma XY - 1$.
Para escribir $ S$ en forma estándar tenemos que eliminar a $ XY$ plazo. Si $ \gamma = h \ne 0$, entonces eso significa que la elipse es girado por un cierto ángulo $\theta$ dado por la relación, $$\tan (2\theta) = \dfrac{2\gamma}{ \alpha - \beta} = \dfrac{2h}{a - b}.$$
Así que para quitar el $XY$ plazo de girar $S$ por $-\theta$, $${X \choose Y} = \left[\begin{matrix}\cos\theta & -\sin \theta \\ \sin \theta& \cos \theta \end{matrix}\right] {X^\prime \choose Y^\prime}.$$
Vamos, a continuación, obtener,
$$ S(X^\prime, Y^\prime) = \dfrac{X{{^\prime}^2} }{\alpha'^2} + \dfrac{Y{{^\prime}^2} }{\beta'^2} - 1 = 0$$
El área de la cual es dada por $\pi \alpha' \beta'$.
Por ejemplo, supongamos $Q(x,y) = x^2 + 2y^2 + 2xy + 4x + 4y + 1$,
Aquí tenemos a $c^\prime = -3$$\theta = \dfrac12 \tan^{-1} (-2)$.
La primera traducción de el origen llegamos, $S(X, Y) = \dfrac{1}{3} X^2 + \dfrac23 Y^2 + 2\dfrac13XY - 1$.
Ahora lo hacemos girar la elipse por $\dfrac12 \tan^{-1} (2)$ a obtener,
$$\dfrac{X'^2}{\dfrac6{3- \sqrt{5}}} + \dfrac{Y'^2}{\dfrac6{3+ \sqrt{5}}} = 1 $$
De manera que el área es $3\pi$.
No es el método más fácil, pero el método más simple para asegurarse.
David K
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Deje $x' = x + \frac12y.$ A continuación,$ x'^2 = x^2 + xy + \frac14y^2, $, por lo que $$ x'^2 + \frac34 y^2 = x^2 + xy + y^2 = 1. $$
La transformación de $T: (x,y) \mapsto (x',y)$ es una transformación de sesgo; por ejemplo, los mapas de la plaza de la $(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$ para el paralelogramo $(0,0), (1,0), (\frac32,1), (\frac12,1).$ La transformación de $T$ no cambia las áreas de las regiones a las que actúa sobre.
Ahora si $E$ es la elipse que satisface $ x^2 + xy + y^2 = 1,$ a continuación, $TE$ (la imagen de $E$ menos que la transformación de $T$) satisface la fórmula $$ x^2 + \frac34 y^2 = 1. $$ Desde $T$ preserva de la zona, para encontrar el área de $E$ sólo tenemos que encontrar el área de $TE.$, Pero como podemos ver, $TE$ es una elipse de semi-ejes principales $1$ $\frac{2}{\sqrt3},$ cuya área se puede fácilmente calcular.
