¿Cambio de propiedad base para módulos planos?

Question

He leído la afirmación sobre el cambio de base para módulos planos en varias fuentes (Lang's Algebra , Hartshorne's Algebraic Geometry , A&M), pero desafortunadamente no está probado en ninguna parte. La afirmación es que

Deje que$A$ sea un% conmutativo$R$ - álgebra, y$F$ a plano$R$ - módulo. Luego,$A\otimes_R F$ es un módulo$A$ - plano.

La prueba es supuestamente inmediata, pero lamentablemente no para mí. ¿Hay una buena prueba estándar de la afirmación que pude leer? Gracias.

Answer 1

Esto equivale a la siguiente observación: si$P$ es cualquier$A$ - módulo, $$P \otimes_R M \cong (P \otimes_A A) \otimes_R M \cong P \otimes_A (A \otimes_R M)$ $ Por lo tanto, si tenemos una secuencia exacta corta de$A$ - módulos$$ 0 \longrightarrow P'' \longrightarrow P \longrightarrow P' \longrightarrow 0 la secuencia tensora $$0 \longrightarrow P'' \otimes_R M \longrightarrow P \otimes_R M \longrightarrow P' \otimes_R M \longrightarrow 0$ $ también es una secuencia exacta corta, por hipótesis, y por medio del isomorfismo discutido anteriormente,$$ 0 \longrightarrow P'' \otimes_A (A \otimes_R M) \longrightarrow P \otimes_A (A \otimes_R M) \longrightarrow P' \otimes_A (A \otimes_R M) \longrightarrow 0 es también una secuencia exacta corta, por lo tanto,$(A \otimes_R M)$ es un plano $A$-módulo.