¿Tiene también estas propiedades la inversa de la suma de las inversas de dos matrices de Stieltjes simétricas y estrictamente dominantes en diagonal?

Question

Supongamos que $A$ y $B$ son matrices reales simétricas, definidas positivamente, estrictamente dominantes en diagonal con elementos diagonales positivos y no positivos fuera de diagonal (es decir, matrices de Stieltjes estrictamente dominantes en diagonal).

Dejemos que $C^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$ .

Es $C$ ¿también es una matriz de Stieltjes estrictamente diagonalmente dominante?

Nota: El resultado es válido para una matriz de 2 por 2 y no he encontrado ningún contraejemplo para matrices de tamaño ligeramente superior, sin embargo no he podido averiguar cómo demostrar el resultado para una matriz general $n$ -por- $n$ matriz.

Agradecería cualquier comentario y orientación. Muchas gracias de antemano.

Answer 1

No. Contraejemplo aleatorio: $$ A=\pmatrix{ 110&-88&-10\\ -88&160&-69\\ -10&-69&129}, \ B=\pmatrix{ 118&-13&-82\\ -13& 66&-52\\ -82&-52&140}. $$ $$ C=(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=\pmatrix{ 48.416&-19.298&-20.637\\ -19.298&45.099&-26.202\\ -20.637&-26.202&58.454}. $$ La segunda fila de $C$ no es diagonalmente dominante.