Intersección de probabilidades y teorema de Bayes

Question

Se sabe que el 70% de las mujeres y el 60% de los hombres han votado en una encuesta, en un pueblo donde 500 mujeres y 400 hombres. Si sólo el 80% de los habitantes dice la verdad, ¿cuál es la probabilidad de que una persona que diga "sí he votado" esté diciendo la verdad?

He desglosado este problema en los eventos:

V = La persona ha votado

T = La persona dice la verdad

También sé que estoy buscando $P(T|V)$ . Sé que para calcular esto, por el Teorema de Bayes, necesito calcular $P(V|T)$ .

Tengo eso $P(V) = \frac{59}{90}$ y $P(T) = \frac{8}{10}$ . Mi problema es que no sé si tengo suficiente información para calcular $P(V \cap T)$ para poder continuar y obtener una probabilidad concreta para $P(T|V)$ .

Answer 1

$350+240=590$ de $500+400=900$ votado. $472$ de los que han votado dirían que han votado mientras $62$ de los que no han votado dirían que han votado. Por lo tanto, $\frac{472}{472+62}=\frac{236}{267}$ de los que dijeron haber votado lo habrían hecho realmente.

Answer 2

Lo estás pensando de manera equivocada:

La persona que ha dicho que sí he votado o ha votado y dice la verdad o no ha votado y miente.

Así que:

dejar B: la persona dice que ha votado

dejar T: la persona dice la verdad

dejar V: la persona votada

$P(B) = P(V \cap T) + P(notV \cap notT)$

así que B: votó y dice la verdad más no votó y miente

$P(T|B) = \frac{P(T \cap B)}{P(B)}$

$P(T|B) = \frac{P(T \cap V)}{P(V \cap T) + P(notV \cap notT)}$

$P(V) = \frac{0.7 \times 500 +0.6 \times 400}{900} = 590/900$

$P(T) = 0.8 $

así que

$P(T|B) = \frac{\frac{590}{900}\times 0.8}{\frac{590}{900}\times 0.8 + (1-\frac{590}{900}) \times 0.2}$

Answer 3

Consulte el diagrama de árbol:

$\hspace{2cm}$

La probabilidad requerida es: $$\frac{\text{n(people who claim to have voted and had voted indeed)}}{\text{n(people who claim to have voted, but they may or may not have voted)}}=\\ \frac{WVT+MVT}{(WVT+MVT)+(WN'L+MV'L)}=\\ \frac{500\cdot 0.7\cdot 0.8+400\cdot 0.6\cdot 0.8}{(500\cdot 0.7\cdot 0.8+400\cdot 0.6\cdot 0.8)+(500\cdot 0.3\cdot 0.2+400\cdot 0.4\cdot 0.2)}=\\ \frac{472}{472+62}=\frac{236}{267}\approx 0.88.$$ Nota:

1) WVT - las mujeres han votado y dicen la verdad (han votado);

2) WV'L - las mujeres no votaron, pero mintieron (dijeron que habían votado);

3) MVT - los hombres han votado y dicen la verdad (han votado);

4) MV'L - los hombres no votaron, pero mintieron (dijeron que habían votado).