Mixto $L^p$ -normalidad Desigualdad en $[0,1]\times\mathbb{R}^2$ .

Question

Mirando $(t,x)\in[0,1]\times\mathbb{R}^2$ me encontré con la afirmación (para un valor real suficientemente suave) $f$ que $$ \|f(t,x)\|_{L^\infty_tL^2_x} \lesssim \|f\|_{L^2_tL^2_x}^{1/2}\|\partial_t f\|_{L^2_tL^2_x}^{1/2} + \|f\|_{L^2_tL^2_x}, $$ que es una "identidad de cálculo simple".

No sé cómo probarlo. Intenté dejar que $t\in[0,1]$ y a continuación se vincula $ \int f(t,x)^2dx$ por lo anterior escribiendo $f(t,x)$ como $\int_0^t\partial_s f(s,x)ds+f(0,x)$ y trucos similares, pero no pude conseguir que funcionara. También intenté utilizar la incrustación de Sobolev de $W^{1,2}(\mathbb{R})$ sur $L^\infty(\mathbb{R})$ pero no he podido conseguir que funcione (tampoco es un "simple cálculo" en mi opinión). Cualquier ayuda sería muy apreciada, ¡gracias!

(En caso de que no sea estándar, la notación de norma mixta es $$ \|f(t,x)\|_{L^q_tL^p_x} = \left(\int\|f(t,\cdot)\|^q_{L^p}dt\right)^{1/q}. $$ )

(Como referencia, la afirmación original se encuentra en el artículo "Sharp Trace Theorems for Null Hypersurfaces on Einstein Metrics with Finite Curvature Flux" de S. Klainerman e I. Rodnianski, Geom. funct. anal. Vol. 16 (2006) 164-229).

Answer 1

¡Tengo una respuesta! Había intentado reescribir $f$ usando el teorema fundamental del cálculo cuando debería haber estado reescribiendo $f^2$ . Explícitamente, para cualquier $t_0$ en $I=[0,1]$ $$ f(t_0,x)^2 = f(t,x)^2 + \int_t^{t_0}2f(s,x)f_t(s,x)ds $$ para $t\in I$ también. Entonces podemos integrar en $t$ , señalando que $[0,1]$ tiene medida 1 y que el lado izquierdo no depende de $t$ tal que $$ f(t_0,x)^2 = \int_I f(t,x)^2dx + \int_0^1\int_t^{t_0}2f(s,x)f_t(s,x)dsdt. $$ Entonces, utilizando el teorema de Fubini podemos cambiar el $t$ y $s$ integral, y, empliendo valores absolutos y similares vemos que $$ |f(t_0,x)|^2 \lesssim \int_I |f(t,x)|^2dx + \int_0^1\int_0^s|f(s,x)||f_t(s,x)|dtds. $$ Realizando la primera integración en el segundo término del lado derecho se obtiene un $s$ que está acotado por 1 tal que $$ |f(t_0,x)|^2 \lesssim \int_I|f(t,x)|^2dx + \int_I|f(s,x)||f_t(s,x)|ds. $$ Integrar lo siguiente en $x$ (y empleando de nuevo a Fubini) $$ \|f\|_{L^\infty_tL^2_x}^2 \lesssim \|f\|^2_{L^2_tL^2_x} + \int_I\int_{\mathbb{R}^2} |f(s,x)||f_t(s,x)|dxds. $$ Utilizando la desigualdad de Holder (Schwarz) en el segundo término del lado derecho se obtiene el resultado deseado, excepto con cada término elevado al cuadrado. La subaditividad de la raíz cuadrada termina la prueba.