Yo nunca he leído o de lo contrario estudiado los Principia; sin embargo, creo que la distinción general a la que Russell está aludiendo todavía es un principio reconocido en la moderna (formalizado) matemáticas. Es básicamente la diferencia entre una sentencia de $\varphi,$ versus el metasentence $\vdash \varphi$.
Conceptualmente, la distinción se explica mejor con referencia a conjuntos parcialmente ordenados (en adelante poset). En un poset, podemos afirmar $x \leq y$ (intuitivamente, $x$ conlleva $y$). También podemos tener un meet-semilattice estructura, en cuyo caso nuestras afirmaciones pueden ser más sofisticados: podemos escribir $x \wedge x' \leq y,$ intuitivamente afirmar que $x$ $x',$ tomados en conjunto, implican $y$.
Tenga en cuenta que $\wedge$ es una función, $\leq$ una relación.
Ahora, además, cualquier cumplir-semilattice puede o no puede admitir la existencia de una función de $\rightarrow$ con la siguiente propiedad.
- $x \wedge x' \leq y$ fib $x \leq x' \rightarrow y$.
Si una función existe, es única, por este resultado. (Si no está claro cuál es la definición anterior tiene que ver con las conexiones de Galois, por favor deje un comentario y voy a aclarar.)
De todos modos, si no es una función de este tipo (que llamaré la "implicación"), entonces puede ser añadido a la lengua (junto a $\wedge$$\leq$) para obtener una forma más de lenguaje expresivo. Y podemos probar los hechos básicos que podemos esperar de implicación, como el modus ponens:
$$(x \rightarrow y) \wedge x \leq y$$
Por cierto, recomiendo diciendo $\leq$ "conlleva", y $\rightarrow$ "implica", aunque esto no está estandarizado.
De todos modos, el punto es que $\rightarrow$ puede ser concebido como una internalización de $\leq.$ tenga en cuenta que $\rightarrow$ es una función, mientras que $\leq$ es una relación. Por lo tanto, espiritualmente, podemos pensar de $x \rightarrow y$ como una instrucción interna a la lengua, mientras que una fórmula como $x \leq y$ (tipo de) ser visto como parte de un metalenguaje. Estoy hablando muy informalmente, aquí, por supuesto.
Ahora realmente no he explicado cómo $\rightarrow$ es una internalización de $\leq$, por lo que permite hacer eso. Resulta que si una función $\rightarrow$ con la propiedad de interés existe, entonces también lo hace un elemento de la parte superior, mientras estamos trabajando en un no-vacío poset. (Sugerencia: considere la expresión $x \rightarrow x$). Indicar el elemento de la parte superior $\top;$ podemos pensar en esto como denotando adulterada truthood. Además, se puede demostrar que $x \leq y$ es equivalente a $\top \leq (x \rightarrow y)$. Este es el sentido en el que $\rightarrow$ es una internalización de $\leq$.
Por último, permite cambiar a más lógico notación. En lugar de $\leq$, escribir $\vdash$ (esto también puede ser expresado: "implica"). Y vamos a pasar a las letras griegas, que puede ser pensado como denota la lógica de las fórmulas. Además, como fórmula para $\top \vdash \varphi$, vamos a escribir $\vdash \varphi.$
A continuación, hay una clara diferencia entre el $\varphi$, e $\vdash \varphi$.
Sin embargo, a menudo $\varphi$ puede ser utilizado como versión abreviada de $\vdash \varphi$, si el significado es claro en el contexto. Del mismo modo, a veces $\varphi \rightarrow \psi$ puede ser utilizado como versión abreviada de $\vdash \varphi \rightarrow \psi$, o en otras palabras $\varphi \vdash \psi$.
Creo que esto es (al menos conceptualmente) la distinción a la que Russell está aludiendo.
