Deje$\ f_1:A \rightarrow B$ y$\ f_2:A \rightarrow B$. Probar o refutar$f_1 \cap f_2$ iff$f_1=f_2$.

Question

Aquí está la pregunta que estoy trabajando (captura de pantalla):

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Así que, no he trabajado con la función de pruebas mucho (especialmente en el contexto de la fib declaraciones y con las intersecciones). Estoy buscando a ver si estoy en el camino correcto para la forma de abordar esta prueba, y a buscar la retroalimentación en los agujeros de mi prueba de conocimientos.

Estrategia: voy a probar esta afirmación (no desmentir).

Adelante: Probar directamente. Deje $(x,y) \in f_1 \cap f_2$. Esto es equivalente a decir que el$x \in f_1$$x \in f_2$, determinado por la intersección. A partir de aquí, no estoy seguro de a dónde ir y cómo mostrar esto indica $A=B$.

Conversar: Estaba pensando que yo debería proceder a contrapositivo. Para hacer el contrapositivo, mi declaración sería "Si $A \neq B$, $f_1 \cup f_2$ no es una función". Yo soy mucho más pegada con la inversa de la dirección, por lo que un empujón en la dirección correcta sería útil.

Pregunta adicional: ¿Puede probar cualquiera de los lados de un enunciado bicondicional por la contradicción?

Answer 1

Como usted dijo, que podemos pensar de $f_{1}$ $f_{2}$ como subconjuntos de a$A \times B$,$f_{1} = \{(x, f_{1}(x)) \in A \times B \}$$f_{2} = \{(x, f_{2}(x)) \in A \times B \}$.

Ahora, tenemos que demostrar $f_{1} \cap f_{2}$ es una función de $A$ $B$fib $f_{1} = f_{2}$.

Vamos a demostrar a la dirección de avance de la primera. Supongamos $f_{1} \cap f_{2}$ es una función de$A$$B$. Queremos mostrar a $f_{1} = f_{2}$. Vamos a hacer esto por la contradicción. Así que supongamos $f_{1} \neq f_{2}$. Luego, sin pérdida de generalidad podemos asumir que existe un $(x, f_{1}(x)) \in f_{1}$ pero $(x, f_{1}(x)) \not \in f_{2}$. Desde $(x, f_{1}(x)) \not \in f_{2}$, entonces la función de $f_{1} \cap f_{2}$ no puede ser una función de $A$ $B$porque para que exista, debe ser definido para cada entrada de $a \in A$, pero para el particular $x$ se aisló por encima, $f_{1} \cap f_{2}$ no está definido en esta $x$ (żpor qué?).

Ahora vamos a probar la dirección de retroceso. Supongamos $f_{1} = f_{2}$. Queremos mostrar a $f_{1} \cap f_{2}$ es una función de $A$ a $B$. Bueno, vamos a $a \in A$. ¿Qué es $(f_{1} \cap f_{2})(a)$? Bien, si estamos pensando en $f_{1}$ $f_{2}$ como los conjuntos descritos anteriormente, a continuación, consideramos que su intersección. Desde $f_{1} = f_{2}$, para cada uno de los $a$, $f_{1}(a) = f_{2}(a)$, por lo $(a, f_{1}(a)) = (a, f_{2}(a))$ por cada $a$, lo cual nos dice que $f_{1} \cap f_{2}$ como una función de $a$ para el valor de $f_{1}(a)$ (lo que equivale $f_{2}(a)$), y esto es cierto para cada $a$. Es hasta usted para determinar por qué esto demuestra la declaración.