Digamos que nos dan una gráfica. ¿Cómo determinamos a partir del gráfico que la función tiene propiedades de valor intermedio? Y también, ¿por qué necesitamos imponer la condición 'monotono' para que una función monótona con propiedad de valor intermedio sea continua? Intuitivamente, no veo por qué la afirmación "la función general tiene propiedades de valor intermedio es continua" es falsa.
Respuestas
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Intente $f(x) = \begin{cases} \sin \frac{1}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0\end{cases}$. Esto tiene el valor intermedio de la propiedad, pero no es continua en cero. Además, no es monótono, por lo que sirve como un ejemplo de por qué monotonía es necesario.
Tenga en cuenta que el gráfico está conectado.
Tenga en cuenta que si el gráfico está conectado, tiene el valor intermedio de la propiedad.
Para ver por qué, supongamos que una función de $g$ no tiene el valor intermedio de la propiedad. Entonces existe $a,b, \gamma$ tal que $a<b$ $\gamma$ es en el menor intervalo que contiene a $g(a), g(b)$, pero $\gamma \notin g([a,b])$. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $g(a) < \gamma < g(b)$. A continuación, vamos a $U = \{ (x,y) | x < a \} \cup \{ (x,y) | x < b, \ y < \gamma \} $, e $V=\{ (x,y) | x >b \} \cup \{ (x,y) | x > a, \ y > \gamma \} $. A continuación, ambos $U $ & $V$ se abierto y no vacío, y la gráfica de $g$ está contenido en $U \cup V$. Por lo tanto, la gráfica es desconectado.
Además, si una función $g$ tiene el valor intermedio de la propiedad, el gráfico está conectado.
Para ver esto, supongamos $g$ tiene el valor intermedio de la propiedad, pero la gráfica no está conectado. A continuación, hay dos que no están vacías, discontinuo abrir conjuntos de $U,V$ de manera tal que la gráfica de $g$ está contenido en $U \cup V$. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que tenemos algo de $a < b$ tal que $(a,g(a)) \in U$, e $(b,g(b)) \in V$. Deje $b' = \sup \{x \ge a | (t,g(t)) \in U \ \forall t \in [a,x] \}$. Desde $U$ está abierto, debemos tener $(b',g(b')) \in V$. Desde $V$ está abierto, tenemos $B((b',g(b')),\epsilon) \subset V$ algunos $\epsilon>0$. Para mayor comodidad, se utiliza el $\max$-norma en $\mathbb{R}^2$, por lo tanto, tenemos $(b'-\epsilon,b'+\epsilon) \times (g(b')-\epsilon,g(b')+\epsilon) \subset V$.
Elegir $a' = b'-\frac{\epsilon}{2}$, $\gamma = g(b')-\frac{\epsilon}{2}$. Entonces si $t \in [a',b')$,$(t,g(t)) \in U$, por lo tanto $|g(t) -g(b')| \ge \epsilon$, por lo tanto $g(s) \neq \gamma$ todos los $s \in [a',b']$, lo que contradice $g$ tener el valor intermedio de la propiedad. Por lo tanto, la gráfica es conectado.
Oli
Puntos
89
El famoso ejemplo es el de la derivada de la función $f$ definido por $f(x)=x^2\sin(1/x)$ si $x\ne 0$$f(0)=0$.
No es difícil mostrar que $f$ es diferenciable en todas partes, pero $f'(x)$ no es continua en a $0$. Y, como cualquier derivado, $f'(x)$ tiene el Valor Intermedio de la Propiedad.
Comentario: La pregunta acerca de la intuición es difícil de abordar. Un problema es que las funciones continuas puede ser mucho más raro que cualquier "puede dibujarse sin levantar el lápiz" en función de nuestra imaginación. El compromiso es una idea intuitiva de suavidad, templado por el conocimiento de la norma contraejemplos.
