Números reales dotados de la métrica $ d (x,y) = | \arctan(x) - \arctan(y)| $ es un espacio métrico incompleto

Question

Tengo que demostrar que los números reales dotados de la métrica $ d (x,y) = | \arctan(x) - \arctan(y)| $ es un espacio métrico incompleto.

Ciertamente, tengo que buscar una secuencia de Cauchy de números reales con respecto a la métrica dada que no debe ser convergente. Pero no soy capaz de averiguarlo. Puede alguien ayudarme con esto.

Gracias por ayudarme.

Answer 1

Perdón por revivir un problema tan antiguo...

En cualquier caso, lo importante aquí es que $\text{arctan}$ es una biyección de $\mathbb{R}$ a $(-\pi, \pi)$ y es una isometría si damos $\left(-\pi/2, \pi/2\right)$ la métrica que lleva como subespacio de $\mathbb{R}$ con la métrica habitual. Evidentemente, si $f: X \to Y$ es una isometría sobreyectiva, entonces las secuencias de Cauchy en $Y$ son las imágenes de las secuencias de Cauchy bajo $f$ y las secuencias convergentes en $Y$ son las imágenes de las secuencias convergentes bajo $f$ Así que $Y$ es completa si y sólo si $X$ es. Así, $(\mathbb{R}, d)$ es completa si y sólo si $(-\pi/2, \pi/2)$ con la métrica $\text{dist}(x, y) = |x - y|$ está completo. Pero $(-\pi/2, \pi/2)$ no está completo ya que $\{\pi/2 - n\}_{n=1}^\infty$ es Cauchy y no converge en $(-\pi/2, \pi/2)$ .

Answer 2

Considere $x_n = n$ . Dejemos que $\varepsilon > 0$ y elija $\displaystyle N > \tan\bigg(\frac\pi2 - \varepsilon\bigg)$ . Si $m, n > N$ entonces $\displaystyle \{\arctan m, \arctan m\} \subseteq \bigg(\arctan N, \frac\pi2\bigg)$ . Así, $$d(x_m, x_n) = \vert \arctan m - \arctan n \vert \leq \bigg \vert \frac\pi2 - \arctan N \bigg\vert < \bigg \vert \frac\pi2 - \frac\pi2 + \varepsilon \bigg\vert= \varepsilon$$ Así, $(x_n)$ es una sucesión de Cauchy. Obsérvese que como $n \to \infty$ , $x_n \to \pi/2$ . Pero $(x_n)$ no converge a ningún elemento de $\mathbb R$ ya que no hay $x \in \mathbb R$ tal que $\arctan x = \pi/2$ .

Answer 3

Consideremos una secuencia que crece sin límites. Tal secuencia no es Cauchy en la métrica habitual en $\mathbb{R}$ pero estará bajo esta métrica.