Si el límite a lo largo de todo el continuo de los caminos es $0$$f(x,y)$, debe el límite de la realidad, ser $0$?

Question

Dicen que tenemos $f:\Bbb R^2 \to \Bbb R$ es decir $z=f(x,y)$.

Sabemos que el límite de $(x,y)\to(0,0)$ existe y es igual a $0$ para todo el continuo de los caminos que podemos concluir que el límite doble en realidad $0$ ? Por qué o por qué no?

Creo que la respuesta debería ser que sí , ya que incluso para funciones discontinuas en origen, el límite que debe de existir. Lo puedo probar rigurosamente aunque. Alguna sugerencia?

Answer 1

Supongo que no es cero, no existe $c>0$ tal que para cada entero $n>0$ existe $x_n$ $\|x_n\|<1/n$ $|f(x_n)|>c$ usted puede construir una ruta de $c$ es la concatenación de las rutas entre $x_i$ $x_{i+1}$ (puede parametrizar $[x_i,x_{i+1}]$ $c_i:[1/(i+1),1/i]$ tal que $c_i(1/(i+1))=x_{i+1}$$c_i(1/i)=x_i$) a la cual se le agregan $c(0)=0$. El límite en el $0$ no es cero, contracdition.

Answer 2

Vamos $L:= \lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y)$, $I$ un intervalo en $ \mathbb R$, $t_0 \in I$ y $c:I \to \mathbb R^2$ un camino continuo tal que $c(t) \to (0,0)$$t \to t_0$.

Deje $\epsilon >0$. Entonces no es $ \delta >0$ tal que $0<||(x,y)|| < \delta$ implica que el $|f(x,y) -L| < \epsilon$.

Hay algunos $d>0$$||c(t)|| < \delta$$0<|t-t_0|<d$.

Por lo tanto, para $0<|t-t_0|<d$, tenemos

$|f(c(t)) -L| < \epsilon$.

Esto significa: $f(c(t)) \to L$$t \to t_0$.

¿Responde esto a tu pregunta ?

Answer 3

Hmm. Cómo acerca de la función $ f(x,y) \equiv \begin{array}{cc} \{ & \begin{array}{cc} 0 & x= 0 \\ \frac{x}{|x|} y & x \neq 0 \end{array} \} \end{array} $ Este no es continua en a $(0,0)$ pero parece satisfacer su camino continuo de la propiedad.