pregunta sobre identidad de sumas con exponente.

Question

Quiero demostrar que para $x>0$ : $$\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-n^2\pi x}= \frac{1}{\sqrt{x}}\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-n^2\pi / x}$$

No parece que un simple cambio de variables sirva, como $n\mapsto n^2 x$ ¿Cómo mostrar esta identidad?

Answer 1

Esto está relacionado con las funciones Theta de Jacobi ya que $$\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-n^2\pi x}=\vartheta _3\left(0,e^{-\pi x}\right)$$ $$\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-n^2\pi / x}=\vartheta _3\left(0,e^{-\frac{\pi }{x}}\right)$$ y la función $$\Psi(x)=\frac 12 \Big(\vartheta _3\left(0,e^{-\pi x}\right)-1\Big)$$ satisface $$\frac{1+2\Psi(x)}{1+2\Psi(\frac 1x)}=\frac 1{\sqrt x}$$ "que Jacobi atribuye a Poisson y se deduce de la fórmula de la suma de Poisson" como ya mencionó uranix (sólo cito la página de WolframMathWorld aquí ).