$1$-starcompactness no está cerrado hereditario. Esto se menciona inmediatamente después de Ejemplo,$2.3.3$, lo que demuestra que la Tikhonov tablón es $1$-starcompact: el conjunto de $\{\omega_1\}\times\omega$ es un cerrado, discreto subconjunto de la tabla que está claro que no es $1$-starcompact.
El resultado en tu pregunta es al menos de forma consistente verdadero. Así se desprende del Lema $2.2.10$ de la nota:
Lema $\mathbf{2.2.10}$. Si $X$ es una primera contables $1$-starcompact espacio con$w(X)<\mathfrak d$, $X$ es countably compacto.
Ahora vamos a $X$ regular, primero contables, star-compacto espacio de cardinalidad $\omega_1$. Como usted señala en la pregunta, $X$ $1$- starcompact. Por otra parte, $w(X)\le\chi(X)\cdot|X|=\omega\cdot\omega_1=\omega_1\le\mathfrak d$. Si $\omega_1<\mathfrak d=2^\omega$, el cual es conocido por ser coherente (por ejemplo, se desprende de lo $\mathsf{MA}+\neg\mathsf{CH}$), $X$ es countably compacto por Lema $2.2.10$.
Por lo tanto, si hay una constante contraejemplo, tendrá que ser en un modelo en el que $\mathfrak d=\omega_1$. Y, de hecho, Ejemplo $\mathbf{2.3.5}$ del papel que resulta ser un contraejemplo. El documento contiene una prueba de que este espacio de $X$ $1$- starcompact, pero en realidad es la estrella compacta.
Prueba. Deje $\mathscr{U}$ ser cualquier abra la cubierta de $X$. Para $k\in\omega$ definir $U_k$ $f\in D$ como en la prueba de que $X$ $1$- starcompact. Deje $K=L_f\cup\{g\in D:g\le^*f\}$; afirmo que la $K$ es compacto. $K\cap D$ es homeomórficos a $\alpha+1$ para algunos contables ordinal $\alpha$ y por lo tanto compacto. Supongamos que $V$ es una nbhd de $K\cap D$, e $A=L_f\setminus V$ es infinito. $L_f\cap\big(\{k\}\times\omega\big)$ es finito para cada una de las $k\in\omega$, lo $A\cap\big(\{k\}\times\omega\big)$ es finito para cada una de las $k\in\omega$, y se desprende de la prueba de Reclamación $\mathbf 2$ de el papel que $A$ tiene un punto límite $g\in K\cap D$. Pero, a continuación,$g\in V$, lo $V\cap A\ne\varnothing$, contradiciendo la elección de $A$. Por lo tanto, $A$ es finito, y $K$ es compacto.
Deje $F=\{k\in\omega:K\cap U_k=\varnothing\}$; a continuación, $F$ es finito, y $\operatorname{st}(K,\mathscr{U})\supseteq K\cup\big((\omega\setminus F)\times\omega\big)\cup(\omega\setminus F)$. A continuación, $K\cup F$ es compacto, y $S=(\omega\times\omega)\setminus\operatorname{st}(K\cup F,\mathscr{U})$ es finito, por lo $K\cup F\cup S$ es compacto, y $\operatorname{st}(K\cup F\cup S,\mathscr{U})\supseteq K\cup(\omega\times\omega)\cup\omega$. Es decir, $X\setminus\operatorname{st}(K\cup F\cup S,\mathscr{U})\subseteq D\setminus K$. Pero $D\setminus K$ es homeomórficos a$\omega_1$, y es por lo tanto la estrella finito (= fuertemente $1$-starcompact), así que hay un número finito de $E\subseteq D\setminus K$ tal que $K\cup F\cup S\cup E$ es compacto y $\operatorname{st}(K\cup F\cup S\cup E,\mathscr{U})=X$. $\dashv$
