la comprobación de pendiente = $0$ a un punto de una función utilizando $\epsilon $, $\delta $ definición

Question

A partir de la continuidad de la definición, una función es continua en un punto a $a$ si : $$\forall \epsilon \gt 0 \exists \delta \gt 0 : |x-a| \lt \delta \implies |f(x)-f(a)|\lt \epsilon$$

Si puedo cambiar el orden de los cuantificadores como el de abajo, obtengo una definición para la comprobación de pendiente= $0$$x = a$ ? $$\exists \delta \gt 0 \forall \epsilon \gt 0 : |x-a| \lt \delta \implies |f(x)-f(a)|\lt \epsilon$$

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Si mi interpretación de la segunda cuantificador orden es defectuoso, por favor podría decirme cómo interpretarlo correctamente en este contexto ? Me di cuenta de que el orden importa por ir a través de otros mse puestos ya.

Answer 1

El orden de los cuantifica importa mucho. La declaración de

$$\exists \delta \gt 0, \forall\epsilon \gt 0 : |x-a| \lt \delta \implies |f(x)-f(a)|\lt \epsilon$$

implica que existe un intervalo alrededor de a $a$ donde $f(x)$ es constante. Si cambiamos el orden de los cuantificadores a

$$\forall \delta \gt 0, \exists\epsilon \gt 0 : |x-a| \lt \delta \implies |f(x)-f(a)|\lt \epsilon$$

a continuación, por ejemplo, cualquier función que está delimitada va a satisfacer ya que si $|f(x)| < M$, a continuación, tome $\epsilon = 2M$ conseguir $|f(x)-f(a)| < \epsilon$ todos los $\delta$.