Un número ' $Z$ contiene todos los dígitos de $1$ a $9$ exactamente una vez. $Z$ es divisible por $99$ . ¿Cuál será el número en su lugar de las centenas (es decir, su penúltimo dígito)?
$99=9\cdot11$ por lo que la suma de números $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ es $45$ que es divisible por $9$ .
Ser divisible por $11$ la suma de los lugares Impares de un número restado por los lugares pares de un número debe ser un múltiplo de $11$ .
¿Cómo debo proceder?
Debes encontrar los dígitos cuya diferencia de suma sea un múltiplo de $11$ y colocarlos en impar y lugares parejos.
Uno de los conjuntos de soluciones es $6+4+5+2=17$ y $9+8+7+3+1=28$ desde $28-17=11$ Así, $968472351$ es divisible por $99$ . Pero podemos intercambiar los dígitos posicionados Impares con dígitos posicionados Impares y dígitos posicionados pares con dígitos posicionados pares. Así que el problema puede tener más de $(5!\times 4!=2880)$ soluciones y no puedo ofrecer todas las posibles soluciones una por una.
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¿cómo puede ser esto posible? La suma total es $45$ como señalas... pero ese es un número impar, por lo tanto no se puede dividir en dos sumas iguales.
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@lulu Las sumas no tienen que ser iguales. Pueden diferir en 11, por ejemplo...
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Por otra parte, si fuera posible, se podría intercambiar el lugar de las centenas con cualquier otro lugar par sin cambiar la divisibilidad.
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CONDICIÓN DE DIVISIBILIDAD PARA 9
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@jerry Por favor, no uses todas las mayúsculas. Es molesto... parece que estás gritando.
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OK ..........@lulu
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@CatalinZara Buen punto, gracias. ¿También he metido la pata en mi segundo comentario?
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@CaitlinZara Para ilustrar su punto, $6+4+5+2=17$ y $1+3+7+8+9=28$ . Así, $163475829$ es divisible por $99$ En efecto, el cociente es $1651271$ . Pero podemos intercambiar el $8$ y el $9$ , digamos, para obtener $163475928$ para obtener otra posible solución, esta vez el cociente es $1651272$ .
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Esta pregunta está reventada.
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@lulu Tu segundo comentario es correcto y lleva a la conclusión de que cualquier dígito puede aparecer en cualquier posición.
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IF BUSTED,,,,NO ANSWER THEN @TonyK
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@CatalinZara eso puede ser demasiado fuerte. Mi comentario más reciente muestra que puedo conseguir $\{6,4,5,2\}$ en el lugar de los cientos. No estoy seguro del resto (pero, por supuesto, es posible que tengas razón... Simplemente dejé de buscar después de conseguir una partición que funcionara).
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@jerry ¿Puedes dejar de usar las mayúsculas? ¿Tienes la tecla de bloqueo de mayúsculas rota o algo así?
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Otra partición viable tiene $\{7,3,6,1\}$ en las ranuras pares...
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@lulu Cualquier dígito puede aparecer en una suma de cuatro o cinco dígitos igual a 17 o 28.
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Y otro tiene $\{9,1,5,2\}$ y otro tiene $\{8,2,4,3\}$ así que ahora estoy de acuerdo... podemos tener cualquier dígito en cualquier ranura.
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@CatalinZara Efectivamente tienes razón. Sólo que me costó más convencerme.
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Además, no hay ninguna restricción explícita sobre el número y el lugar de $0$ dígitos.