Normal paquete asociado a $\mathbb{R}P^n\hookrightarrow \mathbb{R}P^{n+1}$ es el tautológica de la línea de paquete

Question

Estoy interesado en probar el hecho de que el título y yo estaba siguiendo el razonamiento en la página 8 aquí (al final).

Hay un paso que son totalmente claro para mí, a saber, la identificación de la normal paquete asociado a la habitual incrustación de objetos (indicar tal paquete con $\nu$) con el doble de la tautológica paquete

En símbolos tenemos la siguiente cadena de isomorphisms $$ \nu \overset{?}{\cong} \hom(\gamma_n^1,\epsilon_n^1) =: (\gamma_n^1)^*\cong \gamma_n^1$$

donde el signo de interrogación indica donde mi primera duda mentiras. La interpretación que se le da en las notas es totalmente claro para mí. Ellos comienzan con una línea de $l \in \mathbb{R}P^{n+1}$ y, a continuación, definir el mapa de $\lambda_1$. Problema si elegimos otra línea de $l'$ tal que $\pi(l)=\pi(l')$ (seguramente posible), nos encontramos con una posible diferente $\lambda_1$, y por lo tanto esta asociación no puede ser bien definido. ¿Cómo podemos deshacernos de este problema?

Answer 1

He aquí una prueba del resultado, pero no a lo largo de las líneas de la que estamos siguiendo en el libro.

Para la notación, escribir $H^\ast(\mathbb{R}P^n;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[a]/a^{n+1}$ $H^\ast(\mathbb{R}P^{n+1};\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[b]/b^{n+2}$

La inclusión del mapa de $i:\mathbb{R}P^n\rightarrow \mathbb{R}^{n+1}$ no es trivial en $\pi_1$, por lo tanto no trivial en $H_1$, por lo tanto no trivial en $H^1$. En particular, $i^\ast(b) = a$.

También, recordar que la tangente paquete de $\mathbb{R}P^n$ total Stiefel-Whitney clase $(1+a)^{n+1}$.

Además, la línea de paquetes sobre la conexión de un colector $M$ son clasificados por su primer Stiefel-Whitney de la clase. Así, es suficiente para demostrar que la primera Stiefel-Whitney clase de la normal bundle $\nu$ $\mathbb{R}P^n\subseteq \mathbb{R}P^{n+1}$ no es trivial.

Para hacerlo, inicie con $T\mathbb{R}P^{n+1}$ y tire de él para $\mathbb{R}P^n$. Entonces podemos ver que $i^\ast(T\mathbb{R}P^{n+1})\cong T\mathbb{R}P^n \oplus \nu$. Desde pullbacks conmuta con Stiefel-Whitney clases, y el uso de la Whitney fórmula de la suma, tenemos \begin{align*} w_1\left(i^\ast T\mathbb{R}P^{n+1}\right) &= w_1\left( T\mathbb{R}P^n\oplus \nu\right)\\ i^\ast(w_1(T\mathbb{R}P^{n+1})) &= w_1(T\mathbb{R}P^n) + w_1(\nu)\\ (n+2)i^\ast(b) &= (n+1)a + w_1(\nu) \\ (n+2)a &= (n+1)a + w_1(\nu)\\ a&=w_1(\nu).\end{align*}