En el de Hahn-Banach teorema, ¿cuál es el propósito de la hegemonía de la función'?

Question

Estoy estudiando el análisis funcional de la lectura de "Elementos de Análisis Funcional" por IJ Maddox (que fue el conjunto de texto para la Universidad Abierta ahora descontinuado curso sobre este tema).

En el de Hahn-Banach teorema, ¿cuál es el propósito de la hegemonía de la función'?

Más específicamente: tenemos espacio vectorial $V$, más de los reales, y un subespacio $U$. $f$ es un funcional en $U$. Existe una función de $p: U\rightarrow R$ tal que $p(x+y) \le p(x) + p(y)$, $p(\lambda x)=\vert\lambda\vert p(x)$, y $f(x) \le p(x) $. El teorema establece que $f$ puede ser extendida a una funcional, en $V$.

Mi pregunta es ¿por $p$ es necesario en absoluto. La prueba en Maddox del libro no aparece el uso de $p$ excepto para verificar que la función extendida está todavía dominado por $p$.

Tenga en cuenta que una pregunta similar se pidió en Agosto 18 de 2013, por Chandu1729, pero no respondió directamente.

Answer 1

$p$ no es necesaria para la prueba, sino que es una parte importante de la formulación del teorema. No sólo puede el funcional lineal ser ampliada, pero la extensión es todavía dominado por $p$. Sólo una extensión que no es difícil de producir, pero el teorema de la realidad le dice que todavía tiene el control sobre la extensión de saber que la original, funcional está dominado. En las aplicaciones del teorema de esto se utiliza a menudo.