¿Por qué es $\lim\limits_{x\to -\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+2x}-x}$ igual a $0$ ?

Question

Así que hice un ejercicio, que fue $\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2-2x}-x}$ Yo resolví este por:

$\lim \limits_{x\to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2-2x}-x} \frac{\sqrt{x^2-2x}+x}{\sqrt{x^2-2x}+x} $

$\lim \limits_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x^2}\sqrt{1-\frac{2}{x}}+x}{-2x}$

$\lim \limits_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{1-\frac{2}{x}}+1}{-2} = -1 $

El siguiente ejercicio es $\lim \limits_{x\to -\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+2x}-x}$ Pensé que podría resolver este de la misma manera por:

$\lim \limits_{x\to -\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+2x}-x} \frac{\sqrt{x^2+2x}+x}{\sqrt{x^2+2x}+x} $

$\lim \limits_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{x^2}\sqrt{1+\frac{2}{x}}+x}{2x}$

$\lim \limits_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1}{2} = 1 $

Pero aparentemente, la respuesta es $0$ ...

¿Por qué no se puede resolver la segunda de la misma manera que la primera? ¿Y por qué la respuesta $0$ ?

Answer 1

Cuando $x\rightarrow-\infty$ No tienes $0$ como denominador, pero $+\infty$ porque cuando $x \rightarrow-\infty, \sqrt{x^2 -2x} \sim |x|$ y, como $x < 0$ , $|x| = -x$ , por lo que tiene $\lim\limits_{x\to -\infty}\frac {1}{-x-x} = \lim\limits_{x\to -\infty}\frac {1}{-2x} = 0$ .

Answer 2

Ya tenemos respuestas que muestran formas correctas de resolver el problema. Lo que me pareció interesante fue la pregunta implícita dónde está el error en los pasos dados en el cuerpo de la pregunta, que parecía mostrar que el límite es $1$ ?

Los pasos en cuestión son \begin{align} \newcommand{\?}{\stackrel{?}{=}} \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+2x}-x} &\? \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+2x}-x} \frac{\sqrt{x^2+2x}+x}{\sqrt{x^2+2x}+x} \tag1\\ &\? \lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{x^2}\sqrt{1+\frac{2}{x}}+x}{2x} \tag2\\ &\? \lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1}{2} \tag3\\ &\? 1 \tag4 \end{align}

El error está en el tercer paso (de la línea $2$ a la línea $3$ ). De hecho, si $x < 0,$ entonces $\sqrt{x^2} = -x,$ así que \begin{align} \lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{x^2}\sqrt{1+\frac{2}{x}}+x}{2x} &= \lim_{x\to -\infty} \frac{-x\sqrt{1+\frac{2}{x}}+x}{2x} \\ &= \lim_{x\to -\infty} \frac{-\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1}{2} \\ &\neq \lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1}{2} \end{align}

Una forma de evitar este tipo de errores (aparte de la vigilancia constante al manipular raíces cuadradas de expresiones sobre variables de valor negativo) es empezar por observar que $$ \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+2x} - x} = \lim_{y\to +\infty} \frac{1}{\sqrt{y^2-2y} + y}. $$ Entonces se puede trabajar en el límite sobre $y,$ con la certeza de que $\sqrt{y^2}/y = 1.$

Answer 3

Dejemos que $-1/x=h$

$x^2+2x=\dfrac{1-2h}{h^2}\implies\sqrt{x^2+2x}=\dfrac{\sqrt{1-2h}}{\sqrt{h^2}}=\dfrac{\sqrt{1-2h}}{|h|}$

Como $h\to0^+, h>0,|h|=+h$

$$\lim_{x\to-\infty}\dfrac1{\sqrt{x^2+2x}-x}=\lim_{h\to0^+}\dfrac h{\sqrt{1-2h}+1}=?$$