Demostrar mediante la Combinatoria Argumento de que $\binom{n}{k}= \frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1}$

Question

Esta es una pregunta de mis primeras pruebas de la tarea y estoy confundido acerca de la combinatoria argumento aspecto. Yo ya hice la prueba algebraica. Creo que se supone que debo poner en palabras lo que ambos lados representan? Así LHS sería el número de maneras de escoger un comité de $k$ de los miembros de $n$ de las personas, o el número de subconjuntos de tamaño $k$ total $n$, pero no sé cómo articular lo que está sucediendo en el lado derecho.

Answer 1

He aquí una sugerencia. Trate de multiplicar por $k$, por lo que es menos obvio que ambos lados son números enteros. Entonces, lo que quiero mostrar es que el $k\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1}$. El lado izquierdo es el número de maneras de seleccionar un comité de $k$ de los miembros de $n$ de las personas de acuerdo con una decisión de cual de los $k$ va a ser presidente. Se puede reinterpretar esto para obtener el RHS?.

Answer 2

Su expresión puede reescribirse como $$ \binom{n}{k} \binom{k}{1}=\binom{n}{1}\binom{n-1}{k-1} $$ Por lo tanto LHS puede ser interpretado como el número de formas de seleccionar $k$ elementos únicos de $n$ Y, a continuación, uno de estos $k$. Luego RHS es el número de maneras de seleccionar un elemento de $n$ Y, a continuación, $k-1$ restante de los $n-1$.