Es expresado en mi libro de texto que al calentar una barra , el cambio lineal en su longitud es directamente proporcional a su longitud original y el cambio en la temperatura , por lo tanto, las ecuaciones deben mira como estos $$L_2-L_0\propto L_0 (T_2 -T_0)$$$$L_2-L_0=\alpha L_0 (T_2 -T_0)$$ , where $\alpha$ is the coefficient of thermal expansion , what I want to know is , how could this be true?When the rod is expanding then the "original length" is also varying instantaneously , so if we could start our observation at some temperature between $T_0$ and $T_2$ the original length is no longer $L_0$.
Moreover here is a peice of calculation I have done , Lets suppose an intermediate temperature $T_1$,Let us take the length at that temperature to be $L_1$ $$L_1=L_0(1+\alpha(T_1-T_0))$$ Now if I start with this as my "original length" and calculate $L_2$ $$L_2=L_0(1+\alpha(T_2-T_0))+\alpha^2(T_1-T_0)(T_2-T_1)$$If I had calculated $L_2$ from $T_0$ and $T_2$ $$L_2=L_0(1+\alpha(T_2-T_0))$$The above two are not equal for sure if we accept that we are not considering any approximations, so have I kind of proved that if $\alpha$ existe entonces su valor debe cambiar, de lo contrario los dos anteriores nunca puede ser igual.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La expansión lineal del modelo es una aproximación. El más "completo" modelo supone un pequeño cambio $\Delta L$ en la longitud debido a un pequeño cambio en la temperatura de la $T$ a $T+\Delta T$ es proporcional al producto de $\Delta T$ con la longitud a una temperatura de $T$, $L(T)$. Si usted elige el factor de proporcionalidad se $\alpha$ y asumir que no dependen de la temperatura, en el límite de los infinitamente pequeños cambios es posible mostrar la longitud dependerá de la temperatura con un comportamiento exponencial: $$ L(T) = L_0 e^{\alpha T}, $$ donde $L_0$ es la longitud en $T=0$ en su escala de temperatura. Si el argumento de la exponencial es pequeña (y en la naturaleza no se suelen encontrar los valores que $\alpha \ll 1$), podemos ampliar la exponencial en la expansión de la serie y mantener sólo el más bajo términos: $$ L=L_0 e^{\alpha T} = L_0 \left ( 1 + \alpha T + \frac{(\alpha T)^2}{2} + ... \right ) \aprox L_0(1+\alpha T), $$ (si $\alpha \ll 1$, no es difícil convencerse de que $\alpha^2 \ll \alpha$, y así sucesivamente para cualquier poder superior de $\alpha$, por lo que es legítimo que el descuido de los términos proporcionados $T$ no es muy grande). Desde que hemos dejado de lado todos los términos con potencia superior a uno en $\alpha$, también se debe descuidar en sus cálculos. Así que los dos cálculos son iguales hasta primer orden en $\alpha$, que es donde la aproximación lineal de todas formas funciona.
Si la relación entre la longitud y la temperatura era lineal, a continuación, $\dfrac{\Delta L}{\Delta T}$ sería constante y está buscando a dos valores de $\alpha$ con dos longitudes de partida $L_1$ e $L_2$ a dos diferentes temperaturas $T_1$ e $T_2$ respectivamente.
$\alpha_1= \dfrac {1}{L_1}\dfrac{\Delta L}{\Delta T}$ e $\alpha_2= \dfrac {1}{L_2}\dfrac{\Delta L}{\Delta T} \Rightarrow \alpha_1-\alpha_2 = \left(\dfrac {L_1-L_2}{L_1\,L_2}\right )\dfrac{\Delta L}{\Delta T}$
Si los dos de la temperatura en la que la longitud se mide no fueron demasiado lejos, a continuación, $L_1-L_2 \ll L_1L_2$ y el término entre corchetes es muy pequeño, por lo $\alpha_1 \approx \alpha_2$.
Si hecho un gráfico de longitud en contra de la temperatura no es una línea recta, pero su pendiente no cambia mucho a lo largo de un pequeño rango de temperatura para que el uso de $L\approx L_0(1+\alpha \,\Delta T)$ alrededor de la temperatura de la $T_0$ es una razonable aproximación exacta.
Búsqueda de $\alpha$ a una temperatura determinada $T_0$ se puede hacer mediante la búsqueda de la pendiente de la cuerda que une dos puntos de datos en torno a que la temperatura de la con $\alpha_{\rm mean} = \dfrac {1}{L_1}\dfrac{L_1-L_2}{T_1-T_2}$ que produce un valor de la media de $\alpha$ más que el rango de temperatura, o por la búsqueda de la pendiente de la tangente a la gráfica de longitud frente a la temperatura en la temperatura de la $T_0$ resultante en $\alpha_0=\dfrac {1}{L_0}\left( \dfrac{dL}{dT}\right)_0$.
El principal problema es que la gráfica de la longitud en contra de la temperatura no es una línea recta y por lo $\alpha$ es una función de la temperatura.
Tablas de cómo $\alpha$ varía con la temperatura se publican por ejemplo, en el Kaye & Laby
y para encontrar a $\alpha$ a otras temperaturas se sugiere que un polinomio de ajuste de la forma $\alpha(T) = a + b\,T + c \, T^2 + . . . $ es utilizado.
