¿Cómo puedo encontrar el límite sin necesidad de utilizar una expresión de forma cerrada

Question

Estoy tratando de evaluar este límite sin el uso de la forma cerrada de la expresión para la suma de números naturales elevado a $k$th poder. $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{ 1^n +2^n+\cdots +n^n}{n^n}$$

Hasta ahora he tratado de l'Hôpital que complica en lugar de simplificar y Cesaro Stolz no parece funcionar bien.

Answer 1

Bernoulli la Desigualdad dice que para $n\ge k$, $$ \left(1-\frac kn\right)^n $$ es un aumento de la secuencia. Por lo tanto, por la Convergencia Monótona $$ \begin{align} \sum_{k=0}^n\left(\frac kn\right)^n &=\sum_{k=0}^n\left(\frac{n-k}n\right)^n\\ &=\sum_{k=0}^n\left(1-\frac kn\right)^n\\ &\to\sum_{k=0}^\infty e^{-k}\\ &=\frac e{e-1} \end{align} $$

Answer 2

$$\lim_{n \to \infty} \dfrac{ 1^n +2^n+\cdots +n^n}{n^n} = \lim_{n \to \infty}\frac{n^n}{n^n}+\frac{(n-1)^n}{n^n}+\frac{(n-2)^n}{n^n}+\cdots$$ $$=\lim_{n \to \infty}1+(1-1/n)^n+(1-2/n)^n +\cdots=1+e^{-1}+e^{-2}+\cdots$$ entonces uno puede suma de la serie geométrica.