Definición del conjunto de definiciones.

Question

Una fórmula $\varphi[x]$ con una variable libre $x$ en el lenguaje de los conjuntos es un definición en ZF si $ZF \vdash \exists y \forall z(\varphi[z] \longleftrightarrow z = y)$ .

¿Existe una definición en ZF del (meta)conjunto de números de Gödel de las definiciones en ZF?

Sospecho que no es así, pero no encuentro una contradicción en asumir esta existencia. Una idea sería encontrar un truco para definir la verdad de las oraciones en el lenguaje de la teoría de conjuntos utilizando la definición del hecho de ser una definición, pero no veo cómo.

Answer 1

Um solo deja $D = \{ φ : \text{$ φ $ is a $ 1 $-parameter formula over ZF} \land \text{ZF} \vdash \exists! x ( φ[x] )\}$ . Entonces $D$ es el conjunto que está buscando. No podrías obtener una contradicción de esto a menos que tu meta-sistema sea inconsistente.

Si ZF es inconsistente, entonces ZF demuestra cada frase, y cualquier meta-sistema razonable puede ver eso, y así $D$ sería el conjunto de todos los $1$ -fórmula de parámetros. Sin embargo, si ZF es consistente, todavía puede ser $Σ_1$ -sin sonido y pensar que eso mismo es incoherente, en cuyo caso $D$ es de nuevo el conjunto de todos los $1$ -fórmulas de parámetros si se utiliza ZF como meta-sistema.