Los números complejos en el círculo de radio de la unidad

Question

Dados tres puntos en el plano complejo (es decir, números de $z_1,z_2,z_3\in\mathbb C$), definen un único círculo (a menos que sean colineales). Cuando hace que el círculo tiene radio?

Sé cómo calcular que "el camino difícil", es decir, mediante la separación real y la parte imaginaria. A partir de allí se podría construir mediatrices y se cruzan estos, o podría solucionar $ax_k+by_k+c=x_k^2+y_k^2$ $k\in\{1,2,3\}$ y luego deducir el radio de la $a,b,c$ me encontrado.

Pero supongo que podría haber alguna forma más elegante de expresar esta condición utilizando el vocabulario más adecuado para los números complejos. La separación de los números en la real y la parte imaginaria de todos los números no debe ser necesaria, a pesar de la conjugación puede ser necesario en algún momento.

Como un ejemplo muy motivador: se sabe que los cuatro puntos son cocircular iff que satisfacer

$$\begin{vmatrix} x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4^2+y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \end{vmatrix}=0$$

pero con $z_k=x_k+iy_k$ usted también puede verificar la condición

$$\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}\in\mathbb R$$

que es mucho más fácil de escribir y calcular. Estoy buscando algo similar simplificación para el caso de la unidad de radio.

Answer 1

Usted podría calcular $r = A/2\sin\alpha$ que sería un poco más fácil, como $A = |c-b|$ y $$\sin\alpha = \left|\Im\left(\frac{(b-a)|c-a|}{(c-a)|b-a|}\right)\right|$$

Pero bueno, soy consciente de que esto no es muy elegante, ya sea...

Answer 2

Parece que el siguiente.

Deje que el triángulo con vértices $z_1, z_2, z_3$ tiene lados $a, b, c$, área de $S$ y radio de $R$ de la circunferencia circunscrita. A continuación,$R=\frac {abc}{4S}$. La fórmula para la zona orientada hacia la

$$2S=\left|\begin{array}{} x_1-x_3 & x_2-x_3\\ y_1-y_3 & y_2-y_3\\ \end{array}\right|,$$

rendimientos $4S=2\Im(\bar z_1z_2+\bar z_2z_3+\bar z_3z_1)$. Por lo $R=1$ fib $$|z_1-z_2||z_2-z_3||z_3-z_1|=2|\Im(\bar z_1z_2+\bar z_2z_3+\bar z_3z_1)|.$$

Answer 3

El comentario de Tom me dio una idea. Esta no es la respuesta completa todavía, así que por favor ampliar si usted puede pensar en maneras de proceder. Vamos a empezar con lo que él escribió:

$$\exists z\in\mathbb C:\quad \lvert z-z_1\rvert=\lvert z-z_2\rvert=\lvert z-z_3\rvert=1$$

Vamos a la plaza de las cosas, y se expresa en valores absolutos el uso de la conjugación.

$$\exists z\in\mathbb C\,\forall k\in\{1,2,3\}:\quad 1=(z-z_k)(\bar z-\bar z_k)=z\barra z-z\bar z_k-\bar zz_k+z_k\bar z_k$$

Ahora podemos tratar a $a=-\bar z$ $b=-z$ como dos distintas variables y obtener

$$ab + az_k + b\bar z_k + \lvert z_k\rvert^2 - 1 = 0$$

Tres condiciones para las dos variables, lo que es todavía demasiado. Así que vamos a tratar a $c=ab$ como una tercera variable.

$$az_k + b\bar z_k + c = 1 - \lvert z_k\rvert^2$$

Así que ahora tenemos un $3\times 3$ sistema de ecuaciones, y una vez que hemos resuelto que, podemos comprobar si $c=ab$ mantiene. Supongo que si lo hace, entonces el $a=\bar b$ se mantenga así. Para comprobar que adivinar: Por razones de simetría $c$ es real. Por lo tanto, $az_k$ $b\bar z_k$ debe tener enfrente imaginaria. Además, $az_k\cdot b\bar z_k=c\lvert z_k\rvert^2\in\mathbb R$, por lo que se debe tener frente argumento así. Si dos números se han opuesto a la parte imaginaria y argumento contrario, entonces son conjugar el uno al otro.

Por desgracia resolver un sistema de tres ecuaciones lineales es todavía más difícil de lo que había esperado. Una gran victoria es que este enfoque es muy simétrico, y se puede hacer simbólicamente así. Por desgracia, el resultado todavía se ve mal:

$$z_1^2\bar z_1^2z_2\bar z_2 - z_1\bar z_1^2z_2^2\bar z_2 - z_1^2\bar z_1z_2\bar z_2^2 + z_1\bar z_1z_2^2\bar z_2^2 - z_1^2\bar z_1^2\bar z_2z_3 + \bar z_1^2z_2^2\bar z_2z_3 + z_1^2\bar z_1\bar z_2^2z_3 - \bar z_1z_2^2\bar z_2^2z_3 + z_1\bar z_1^2\bar z_2z_3^2 - \bar z_1^2z_2\bar z_2z_3^2 - z_1\bar z_1\bar z_2^2z_3^2 + \bar z_1z_2\bar z_2^2z_3^2 - z_1^2\bar z_1^2z_2\bar z_3 + z_1\bar z_1^2z_2^2\bar z_3 + z_1^2z_2\bar z_2^2\bar z_3 - z_1z_2^2\bar z_2^2\bar z_3 + z_1^2\bar z_1^2z_3\barra de z_3 - \bar z_1^2z_2^2z_3\bar z_3 - z_1^2\bar z_2^2z_3\bar z_3 + z_2^2\bar z_2^2z_3\bar z_3 - z_1\bar z_1^2z_3^2\bar z_3 + \bar z_1^2z_2z_3^2\bar z_3 + z_1\bar z_2^2z_3^2\bar z_3 - z_2\bar z_2^2z_3^2\bar z_3 + z_1^2\bar z_1z_2\bar z_3^2 - z_1\barra de z_1z_2^2\bar z_3^2 - z_1^2z_2\bar z_2\bar z_3^2 + z_1z_2^2\bar z_2\bar z_3^2 - z_1^2\bar z_1z_3\bar z_3^2 + \bar z_1z_2^2z_3\bar z_3^2 + z_1^2\bar z_2z_3\bar z_3^2 - z_2^2\bar z_2z_3\bar z_3^2 + z_1\bar z_1z_3^2\bar z_3^2 - \bar z_1z_2z_3^2\barra de z_3^2 - z_1\bar z_2z_3^2\bar z_3^2 + z_2\bar z_2z_3^2\bar z_3^2 + \bar z_1^2z_2^2 - 2z_1\bar z_1z_2\bar z_2 + z_1^2\bar z_2^2 - 2\bar z_1^2z_2z_3 + 2z_1\bar z_1\bar z_2z_3 + 2\bar z_1z_2\bar z_2z_3 - 2z_1\bar z_2^2z_3 + \bar z_1^2z_3^2 - 2\bar z_1\bar z_2z_3^2 + \bar z_2^2z_3^2 + 2z_1\bar z_1z_2\bar z_3 - 2\bar z_1z_2^2\bar z_3 - 2z_1^2\bar z_2\bar z_3 + 2z_1z_2\bar z_2\bar z_3 - 2z_1\bar z_1z_3\bar z_3 + 2\bar z_1z_2z_3\bar z_3 + 2z_1\bar z_2z_3\bar z_3 - 2z_2\bar z_2z_3\bar z_3 + z_1^2\bar z_3^2 - 2z_1z_2\bar z_3^2 + z_2^2\barra de z_3^2=0$$

Aún así, hay algunas aplicaciones en las que esta formulación es mejor que el enfoque ingenuo de la división real y la parte imaginaria. Es decir, cuando se trabaja en algunos subcampo de $\mathbb C$ cuando la parte imaginaria no es en ese campo y por lo tanto de la computación tiene un alto costo de conversión, por ejemplo, en un cyclotomic campo. Lo anterior puede quedarse en ese campo todo el tiempo, sin conversiones.