teorema del límite central más fuerte condición

Question

En el Teorema del Límite central debe ser el caso de que la varianza de $X_{i}$ donde $\{X_{i}\}_{i \in \mathbb{N}}$ son yo.yo.d. variables aleatorias, debe ser finito. Pero podemos encontrar independientes variables aleatorias $X_{i}$, no idénticamente distribuidas con $\mathbb{E}(|X_{i}|) = \infty$ tal que

\begin{equation} \frac{X_{1} + ... + X_{n}}{\sqrt{n}} \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1), \end{equation}

donde $\mathcal{N}(0,1)$ denota una variable normal Estándar.

Answer 1

Desde que nos permiten la $\left(X_i\right)_{i\geqslant 1}$ no necesariamente idénticamente distribuidas, la pregunta es más fácil. Deje $\left(N_i\right)_{i\geqslant 1}$ ser un yo.yo.d. secuencia de estándar de variables aleatorias distribuidas normalmente. Basta con encontrar una secuencia independiente $\left(Y_i\right)_{i\geqslant 1}$ independiente de $\left(N_i\right)_{i\geqslant 1}$ tal que $\mathbb E\left\lvert Y_1\right\rvert =+\infty$ $n^{-1/2}\sum_{i=1}^nY_i\to 0$ en la probabilidad y definir $X_i:=N_i+Y_i$. Tomemos, por ejemplo, una secuencia independiente $\left(Y_i\right)_{i\geqslant 1}$ independiente de $\left(N_i\right)_{i\geqslant 1}$ tal que $Y_i$ sigue una distribución de Cauchy de parámetro $c_i$ tal que $n^{-1/2}\sum_{i=1}^n c_i\to 0$.