Calculando el Centro de Masa

Question

Tenemos un cuerpo homogéneo que se ve así:

He intentado dividir el cuerpo en diferentes partes usando la siguiente definición:

R g * A = R 1 * A 1 + ... R n * A n

Estaba pensando en dividirlo primero en dos partes usando el eje x, y luego sumar esas dos usando la definición anterior. ¿Pero cómo puedo calcular las coordenadas para el centro de masa de la parte inferior?

Answer 1

El centro de masa de medio disco de radio r está a una distancia de $4r/3\pi$ desde el centro del disco (ver http://planetmath.org/centreofmassofhalfdisc).

Considera los tres medios discos, con radios r para el más grande A y r/2 para los dos más pequeños (uno existente B y uno faltante C). La masa de cada uno es proporcional a la superficie. Sus centros de masa son conocidos a través de la fórmula anterior. Dado que el cuerpo está compuesto por A y B de los cuales se ha eliminado la masa de C, se componen en consecuencia las masas de las tres partes asumiendo que están concentradas en los respectivos centros de masa, tomando un valor negativo para C ya que se debe eliminar de A.

Más explicación:

El cálculo del centro de masa se puede hacer algebraicamente, tomando las partes faltantes de forma negativa. Se deriva muy fácilmente de la fórmula para el centro de masa de varios puntos de masa. Si tienes dos puntos de masa $m_1$ y $m_2$ en coordenadas $r_1$ y $r_2$, entonces la coordenada r para el centro de masa de ambos, con una masa total $m=m_1+m_2$, se da por $mr=m_1r_1+m_2r_2$

Si tomas $m_2$ como el medio disco faltante C y m como el medio disco grande, tu parte inferior en forma de cuerno corresponderá a la masa $m_1$. (es decir, componiendo el cuerno y el medio disco pequeño obtienes el medio disco grande). La ecuación te dice dónde debe estar el centro de masa de la forma del cuerno $m_1$ para que cuando se asocie con el medio disco pequeño $m_2$, obtengas el resultado adecuado para el centro de masa del medio disco grande $m$.

Por lo tanto, las coordenadas $r_1$ para la parte en forma de cuerno se dan por la ecuación, es decir, $r_1=(mr-m_2r_2)/m_1$, pero también debes componer eso con el medio disco más pequeño arriba.

Answer 2

Para la solución, consideraré tres partes. El semicírculo de radio r/2 en el primer cuadrante. El semicírculo de radio r debajo del eje x. Sí, sé que el semicírculo completo no está presente, por lo que la siguiente parte continúa. El semicírculo en el tercer cuadrante con radio r/2 pero con densidad negativa. En resumen, podemos, como experimento mental, llenar ese espacio con el material del resto del cuerpo, pero nuevamente con densidad negativa superpuesta para mantener la falta de masa del espacio vacío. Estoy dividiendo la masa cero en el espacio en masas positivas y negativas. Los centros de masa de estos tres cuerpos son fáciles de calcular. Considerando que esto está presentado en la tarea, asumo que solo querías ser dirigido a la solución en lugar de tener todo presentado ante ti.

Answer 3

¡Usa cálculo!

Para cualquier región $R$ con función de densidad $\rho(x,y)$, podemos calcular varias cantidades a partir de ella.

En primer lugar, la masa: $$m=\iint_R\rho(x,y)\ dA$$ Ahora necesitamos los primeros momentos, o los momentos de masa: $$M_x = \iint_Ry\ \rho(x,y)\ dA\\M_y=\iint_Rx\ \rho(x,y)\ dA$$ El centro de masa es entonces $$(\bar x, \bar y) = \left(\frac{M_y}{m}, \frac{M_x}{m}\right)$$

Ahora, aplicando esto al problema en cuestión, primero podemos establecer $\rho(x,y)=1$. Haciendo esto, varios términos se eliminan o se cancelan, y tenemos $$(\bar x, \bar y)=\left(\frac{\iint_Rx\ dA}{\iint_RdA},\frac{\iint_Ry\ dA}{\iint_RdA}\right)$$

$\iint_RdA$ es realmente solo el área de $R$, que en este caso es exactamente $\frac{\pi r^2}{2}$, por lo que sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos $$(\bar x, \bar y)=\left(\frac{2\iint_Rx\ dA}{\pi r^2},\frac{2\iint_Ry\ dA}{\pi r^2}\right)$$

Todo lo que queda es evaluar esas integrales dobles, lo cual se logra eligiendo límites adecuados para reemplazarlos con una o más integrales iteradas.