(a) Dado que, con $|x|<1$, $$(1-2xt +x^2)^{- \frac{1}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} P_n (t) x^n, |x|<1 $$
Si $-1<t<1$, muestran que $$P_0 (t) = 1,$$ $$ P_1(t) =t, $$ $$P_{n+1} (t) = \frac{2n+1}{n+1} t \cdot P_n(t) - \frac{n}{n+1} \cdot P_{n-1}(t). \tag{4}$$ $n \geq 1$ .
Dado que el $\sum_{n=0}^{\infty} P_n (t) x^n$ es una potencia de la serie de la forma $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-0)^n$. Donde $a_n$, como se supone a converger, es $$a_n = P_n(t) = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$$.
Dado que el $f(x) = (1-2xt +x^2)^{- \frac{1}{2}}$, e $f^{(1)} (x)= (t-x) (1-2xt+x^2)^{-\frac{3}{2}}$
$$\implies a_0 = P_0(t) = \frac{f^{(0)}(0)}{0!} = 1$$ $$ \implies a_1= P_1(t) = \frac{f^{(1)}(0)}{1!} = t$$
.
Demostrando $(3)$, cuando se $n=0$,
Citando A Wikipedia: Para obtener más términos, sin recurrir a la expansión directa de la serie de Taylor, [$\frac{1}{\sqrt{1-2tx+x^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(t) x^n \tag{1}$] está diferenciada con respecto a $x$ en ambos lados y se reordena para obtener $$\frac{t-x}{\sqrt{1-2tx+x^2}} = (1-2tx+x^2) \sum_{n=1}^\infty n P_n(t) x^{n-1} \tag{2}$$ Reemplazar el cociente de la raíz cuadrada con su definición en (1), e igualando los coeficientes de las potencias de $x$ en la expansión resultante da $$ (n+1) P_{n+1}(t) = (2n+1) t P_n(t) - n P_{n-1}(t) \tag{3}$$
' Mi comprensión de la Wikipedia, De (2) tenemos : $$(t-x) \sum_{n=0}^{\infty} P_n(t)x^n = (1-2tx+x^2) \sum_{n=1}^\infty n P_n(t) x^{n-1} $$
Estoy tratando de aplicar la wikipedia enfoque que he puesto arriba, no estoy seguro de cómo proceder después de esto?
Muy apreciado por su entrada o ayuda.
