Cómo puedo probar que $x^4-2x^2+9$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$?

Question

Cómo puedo probar que $x^4-2x^2+9$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$? Es allí cualquier manera de probar la irreductibilidad de polinomios?

Answer 1

a partir del teorema de Gauss en el contenido, la cosa de los factores sobre los enteros si y sólo si los factores sobre los racionales.

El segundo resultado indica que si una no-constante polinomio con entero de los coeficientes es irreducible sobre los enteros, entonces también es irreductible, si se considera un polinomio sobre los racionales.

Nos encontramos con que no hay soluciones racionales. Lo que queda es de dos cuadráticas: Buscar números enteros $A,B,C,D$ tal que

$$ (x^2 + Ax + B)(x^2 + C x + D) = x^4 - 2 x^2 + 9$$

Voy a empezar: el producto en la izquierda, el coeficiente de $x^4$ es uno, y el coeficiente de $x^3$ $A+C.$ Esto nos indica que $$ A+C = 0; \; \; \; \color{red}{C = - A}. $$

Y así sucesivamente. Ya sea que conduce a una explícita de la factorización o muestra que no hay ninguno.

Voy a dar una explícita segundo paso: considerar que el lineal coeficiente (de $x$ sí) debe ser $0.$ ya que sabemos $C = -A,$ escribir con esa información, a continuación se encuentra la comparación de $B$ $D.$

A continuación, seguir adelante. Cada vez que usted obtiene unos firmes información, escribir de nuevo, de lo contrario se le hace difícil recordar lo que se ha avanzado.

Answer 2

$x^4-2x^2+9$ es de hecho una muy especial polinomio, porque es reducible $\mathbb{Z}_p$ todos los $p$, pero es irreducible sobre $\mathbb{Z}$. La ruta para mostrar la irreductibilidad es la siguiente:

Por la verificación manual, se puede comprobar que las raíces del polinomio $x^4-2x^2+9$$\pm \sqrt 2\pm i $.

Considere el número complejo a $\sqrt 2+i$. La división de campo de más de $\mathbb{Q}$ de este polinomio es $\mathbb{Q}(\sqrt 2,i)$, ya que vemos que : $$ i = \frac{1}{6}((\sqrt 2+i)+ (\sqrt 2+i)^3), \sqrt 2 = \frac{5}{6}(\sqrt 2+i) - \frac{1}{6}(\sqrt 2+i)^3 $$ Pero el grado de $[\mathbb{Q}(\sqrt 2,i) : \mathbb{Q}] =4$, aislando el complejo y real grados. Por lo tanto, el polinomio mínimo de a $\sqrt 2 + i$ es de grado $4$, y por lo tanto debe ser $x^4-4x^2+9$. Por el hecho de que un mínimo de polinomios son irreducibles, se deduce que el $x^4-4x^2+9$ es irreductible.

Espero que esto está bien.