Las permutaciones son simetrías de un (no necesariamente finita) set $X$, a menudo denotado como Sym(T). Es decir, una permutación $p: X\to X$ es un bijective mapa a partir de un conjunto $X$ a sí mismo.
Quiero probar el siguiente y el deseo de comprobar que mi planteamiento:
La composición de dos permutaciones es de nuevo una permutación.
Enfoque:
Prueba 1
Dadas dos permutaciones $p_1$ e $p_2$ sabemos que estos son bijective, por lo tanto, por definición, de un bijection: $$\forall y \in X \quad \exists ! x\in X: p(x)=y$$
En inglés: Cada elemento en el codominio, corresponde un único elemento del dominio. Así, únicamente los pares de elementos en el codominio de los elementos en el dominio.
Ahora consideramos la composición de estos dos permutaciones y muestran un bijection de $X$ a sí mismo. Para demostrar bijectivity uno puede demostrar que existe un único elemento en el dominio, para cada elemento en el codominio.
Considere la posibilidad de un arbitrario $z\in X$, entonces sabemos desde $p_1$ es de permutación (bijection), así que hay algunas características únicas $y$, de tal manera que $$ p_1(y)=z$$ Ahora desde $y\in X$, por allí debe existir un único elemento $x$, de tal manera que podemos escribir: $$ p_2 (x)=y $$ Llegamos a la conclusión de que: $$ p_1(p_2(x))=p_1(y)=z$$ Puesto que para cada elemento $z$ en el codominio $X$, existe un único elemento $x$ en el dominio, tenemos una bijective mapa. Esto significa que la composición de la $p_1 \circ p_2$ es de nuevo una permutación en $X$. $\square$
Prueba 2:
Enfoque canónico: Deje $f$ e $g$ ser bijective mapas a partir de un conjunto $X$ a sí mismo. Vamos a demostrar que la composición de la $f \circ g$ es bijective.
Inyectividad: (cada elemento que se alcanza se alcanza una vez)
Considerar arbitraria $a, b \in X$ tal forma que: $$ f(g(a))=f(g(b))$$ por la inyectividad de $f$ sabemos que $g(a)=g(b)$. Ahora por la inyectividad de $g$ tenemos que $a=b$, por lo tanto la composición de la $f \circ g$ es inyectiva.
surjectivity: (cada elemento se alcanza) Tenemos que probar que para cada elemento $b \in X$, existe algún elemento $a$ sucht que $f(g(a))=b$. De hecho, hemos bijective mapas para la inversa de la mapa es una bien definida bijective mapa para cada uno de estos mapas, $f, g$. Considerar el elemento $a=g^{-1}( f^{-1}(b))$ y observar: $$ f(g(a))=f(g(g^{-1}( f^{-1}(b))))=f(f^{-1}(b))=b$$ Por la asociatividad de la propiedad de los mapas (y el hecho de que la composición de un mapa con su inversa rendimientos de la identidad).
De inyectividad y surjectivity ambos mantienen, por tanto, la composición es bijective. (cada elemento se alcanza exactamente una vez)
Prueba 3 Alternativamente, por el principio del palomar tenemos que para finito de conjuntos de la misma cardinalidad de un mapa surjective si y sólo si es inyectiva.
Considerar arbitraria $a, b \in X$ tal forma que: $$ f(g(a))=f(g(b))$$ por la inyectividad de $f$ sabemos que $g(a)=g(b)$. Ahora por la inyectividad de $g$ tenemos que $a=b$, por lo tanto la composición de la $f \circ g$ es inyectiva.
Ahora también sabemos que la composición es surjective y por lo tanto bijective.
