Tengo problemas para construir un ejemplo de un álgebra de conjuntos que no sea un -álgebra. ¿Podría ayudarme con esto?
Pero demostrar que esto no es álgebra sigma requeriría que cada conjunto infinito tiene un subconjunto contable(por lo que sé prueba) pero que requieren Axioma de elección contable(CC). O hay una prueba sin usar CC
Dejemos que $X$ sea el conjunto de los números naturales. Sea $A_n$ sea el conjunto de números pares hasta e incluyendo $2n$ . Entonces la unión contable de los $A_n$ es el conjunto de todos los números pares, que es infinito y tiene un complemento infinito: el conjunto de todos los números Impares. Genial :)
Dejemos que $L$ sea la colección de todas las uniones disjuntas finitas de todos los intervalos de la forma:
$(−\infty, a], (a, b], (b, \infty), \emptyset, \mathbf{R}$ .
Entonces $L$ es un álgebra sobre $\mathbf{R}$ pero no una σ-álgebra porque
unión de conjuntos $\left\{(0,\frac{i-1}{i}]\right\}$ para todos $i \ge 1 = (0, 1) \notin L $ .
Por ejemplo, dejemos que $\mathbb{R}^{[0,+\infty)}$ denotan el conjunto de todas las funciones de valor real sobre $[0,+\infty)$ . Consideremos el llamado conjunto cilíndrico n-dimensional, definido como \begin {equation*} C_{t_1,t_2, \ldots , t_n,B}={f \in \mathbb {R}^{[0,+ \infty )}:(f(t_1),f(t_2), \ldots f(t_n)) \in B\}, \end {equation*} donde $B\in\mathcal{B}^d$ es un conjunto de Borel y $C\subseteq \mathbb{R}^{[0,+\infty)}$ . Entonces el conjunto $\mathcal{C}'$ de todos los cilindros $C$ Es decir, \begin {equation*} \mathcal {C}'=\C_{t_1,t_2, \ldots t_n,B}, \N y la de los demás. \forall \ n \geq 1, \ \forall\ (t,t_1,t_2, \ldots t_n), \N y la \forall \ B \in \mathcal {B}^n \N - en el que se encuentra la mayoría de las personas.} \end {equation*} es un álgebra pero no $\sigma$ - álgebra. De todos modos es bien sabido que existe el más pequeño $\sigma$ - álgebra que contiene $\mathcal{C}'$ Pero esta es otra historia.
Como otro ejemplo que apoya la primera respuesta anterior, dejemos que $\Omega $ $=$ $(0,1]$ y que $\mathcal{F}$ contienen $\varnothing $ , todos $(a,b]$ con $a,b$ $\in $ $\mathbb{Q}$ , $a,b \in [0,1]$ $a$ $<$ $b$ y todas las uniones finitas de $(a,b]$ . Dejemos que $[z]$ redondo $z$ al número entero más cercano. A continuación, $\mathcal{F}$ es un campo por verificación directa. No es un $\sigma $ -campo: dejar $A_{n}=(a_{n},1]$ con $a_{n}$ $=$ $% 10^{n}/[10^{n}\pi ]$ Por lo tanto $A_{n}$ $\in $ $\mathcal{F}$ pero $\cup _{n=1}^{\infty }A_{n}$ $=$ $(\pi ,1]$ $\notin $ $\mathcal{F}$ .
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