La confusión acerca de las derivadas parciales de / la diferencia entre las funciones y los pares de variables relacionadas con el

Question

Si tengo una función $f(x,t)=x$, y también me he enterado de lo que $x=t^2$, entonces la derivada parcial

$$\frac{\partial f}{\partial t} = 0$$

Ahora, entiendo que la idea es 'hold $x$ constante, tomar la derivada con respecto al $t$', pero todavía sigo cometiendo el error de pensar que la regla de la cadena debe aplicar, ya sé que $x$ no puede ser considerado constante al variar la $t$.

Cuando me encuentro a mí mismo pensando que la regla de la cadena debe aplicar, es porque estoy pensando en $x$ es una función de $t$, y por lo $f(x(t),t)=g(t)=t^2$.

No debo pensar de esta manera? Debido a $f(x,t)$ $g(t)$ son completamente diferentes a los animales, incluso si toman el mismo valor para todos los $t$?

Creo que me voy a caer en la confusión acerca de la diferencia entre funciones y variables así. En la de arriba, $x$ no es una función de $t$, correcto? $x$ $t$ son ambas variables y sucede que tengo una relación/restricción entre ellos? Si $x$ fueron de una función, así que tuvimos $f(x(t),t)=x(t)$, y se pide calcular $\partial f /\partial t$, entonces sería la regla de la cadena se aplican, debido a que f es una función compuesta de $t$, o sería ambiguo si estábamos pensando en f como una función de una variable, o como una función de dos variables con una relación entre ellos?

Answer 1

pero todavía sigo cometiendo el error de pensar que la regla de la cadena debe aplicar, ya sé que x no puede ser considerado constante al variar t.

Usted no debe pensar en ello como $x=t^2$ se mantiene constante, pero la primera coordenada de la función $f(x,t)$ se mantiene constante. Cuando usted toma la derivada parcial con respecto a una determinada coordenada, de tratar a todas las otras coordenadas fijo, independientemente de su dependencia de los demás. Así, en el ejemplo de $f(x,t)=x$, aunque $x=t^2$, cuando se toma el parcial con respecto al segundo argumento a tratar el primer argumento, $x$, como una constante. Puede parecer extraño, pero tu preguntando cómo se hace el cambio de función como $t$ cambios con respecto a ¿cómo cambia al $t^2$ cambios.

Con $f(x,t)=xt=t^3$ donde $x=t^2$, tendría $\frac{\partial f}{\partial x}=t$ mientras $\frac{\partial f}{\partial t}=t^2$.