De la unión y de las intersecciones

Question

Vamos a definir $X_i$, $i \in \{1,2,...,n\}$ $n$ conjuntos y $E_k$ el subconjunto de el juego de poder de $\{1,2,...,n\}$ cuyos elementos tienen una cardinalidad $k$.

Si $\displaystyle P=\bigcap_{I \in E_k}\,\bigcup_{i \in I}\:X_i$$\displaystyle Q=\bigcup_{I \in E_k}\,\bigcap_{i \in I\:}X_i$, ¿cómo puedo demostrar :

• si $k \leq\frac{n+1}{2} $$P \subset Q$.
• si $k \geq\frac{n+1}{2} $$Q \subset P$.

Es una tarea así que no quiero ninguna respuesta completa, solo un poco de ayuda para poder empezar. He intentado traducir lo que tengo y lo que quiero demostrar, en términos de $\forall$ $\exists$ pero no sé cómo conseguir más...

Gracias de antemano !

Answer 1

Primero de todo, ver a mi comentario. ¿Esta ayuda?

Por otra parte, si $x\in P$, entonces para todos los $I\in E_k$ hay$i\in I$$x\in X_i$. Pero esto significa que hay en la mayoría de las $k-1$ diferentes $i\in\{1,\dots,n\}$$x\not\in X_i$. Si $k$ es pequeña en relación a $n$, a continuación, usted encontrará $I\in E_k$ tal que para todo $i\in I$, $x\in X_i$.

La segunda parte es similar.