El infinitamente anidada expresión del poder de abajo tiene un límite de $2$:
$$x=\sqrt2^{\sqrt2^{\sqrt2^{...}}}$$
En la búsqueda de este límite, podemos usar:
$$x=(\sqrt2)^x$$
Pero esta expresión tiene dos soluciones, $2$ e $4$.
Sabemos que $2$ es la respuesta correcta mediante la evaluación de algunos finito truncamientos, pero esto $4$ me molesta. ¿Qué $4$ significa esta expresión? Es importante de alguna manera?
Si $\sqrt{2}^{\vdots}$ está bien definido, debe ser como el límite de una secuencia de la forma $a_{n+1}=\sqrt{2}^{a_n}$. El límite, si existe, depende de $a_1$, pero la elección más natural de $a_1$ es $\sqrt{2}$; ¿qué más se cree que es "en la parte superior de la torre", que no existe?
Pero podemos probar por inducción que si $a_1\in[0,\,2]$, entonces, para todos los $n$, $a_n\le 2$, lo $x:=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$ es $x=2$, mientras que el $a_1=4$ implica $x=4$.
El problema aquí es que:
$$x = (\sqrt{2})^x$$
es una condición necesaria, pero no suficiente, es decir, si $\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}}}$ es igual a $x$ a continuación, se debe sostener que $x = (\sqrt{2})^x$, pero no sabe si $x$ puede ser igual a $\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}}}$ en el primer lugar.
Una propiedad interesante es que
$$x^{x^{x^{x^{\cdots}}}}$$ for positive x converges only if $x\in [e^{-e}, e^{1/e}]$ and converges to a value $s\in[e^{-1}, e]$.
Así que si usted está trabajando con otra expresión como esa y se obtiene más de una solución, tenga en cuenta que si no pertenece a dicho intervalo, entonces seguramente no es una solución de la expresión.
https://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/exponentials-reiterated-0
He aquí la prueba de la propiedad antes mencionada y, también, un análisis más detallado de todo el problema con anidada poder expresiones.
Es un error común pensar que una expresión como
$$\sqrt2^{\sqrt2^{\sqrt2^{...}}}$$
denota un número definido.
Para más rigor, nos permiten utilizar
$$x=\lim_{n\to\infty}a_n,\text{ where }x_{n+1}=\sqrt2^{x_n}.$$
Ahora si $x_0=2$, $x_n=2\ \forall n$ sigue. Del mismo modo, para $x_0=4$, $x_n=4$ sigue. Para otros valores iniciales, la secuencia puede converger a $2$, pero también pueden divergir.
Así que la declaración "tiene un límite de $2$" es dudosa.
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