Biduals de los operadores

Question

Deje $T\colon X\to Y$ ser un delimitada lineal operador que actúa entre espacios de Banach. Supongamos $T$ es un isomorfismo en su gama. Debe $T^{**}\colon X^{**}\to Y^{**}$ ser un isomorfismo en su gama también?

Answer 1

Por el cerrado gama teorema, un operador $T$ ha cerrado si y sólo si el rango de su adjunto es cerrado. El uso de este hecho dos veces vemos que $T$ ha cerrado si y sólo si $T^{\ast\ast}$ ha cerrado gama.

Por otro lado, desde la $T$ es inyectiva con el cierre de la gama, tenemos que $T^\ast$ a, por lo tanto $T^{\ast\ast}$ es inyectiva, demasiado.

La combinación de estas dos observaciones que le da ese $T^{\ast\ast}$ es un isomorfismo en su gama.

Consulte el Capítulo 4, Teoremas 4.12 y 4.14, en Rudin el libro sobre el análisis funcional de las pruebas de las afirmaciones que se utiliza aquí.