Supongamos que tenemos un separables, irreductible cuártica que tiene 4 raíces complejas, y por lo que tiene 2 complejo conjugado de pares. ¿Significa esto que el grupo de Galois de este polinomio sobre los racionales no puede contener un 3-ciclo, ya que esta no sería la de preservar la propiedad de que cada una de estas raíces tienen un par complejo conjugado?
Estoy confundido acerca de qué propiedades se conservan por el grupo de galois.
Nos deja ver que el grupo de Galois $G$ como un grupo de permutaciones en las cuatro raíces.
No, el hecho de que las raíces se forman dos complejas conjugadas pares NO nos permite concluir que el grupo no tiene elementos de orden tres (yo producirá un ejemplo si es necesario). Todo lo que implica es que el grupo $G$ contiene un producto de dos separe de 2 ciclos.
Lo confuso que es, probablemente, el hecho de que el complejo de la conjugación no necesariamente pertenecen al centro de $G$. En otras palabras, puede ser automorfismos $\tau$ que no conmuta con complejo de conjugación. Para tal automorphism $\overline{\tau(z)}$ puede ser diferente de $\tau(\overline{z}).$
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