Probar la suma de la primera $n$ números naturales por inducción

Question

Actualmente estoy estudiando la demostración por inducción, pero me encuentro con un problema.

Necesito resolver por inducción la siguiente pregunta.

$$1+2+3+\ldots+n=\frac{1}{2}n(n+1)$$

para todos $n > 1$ .

Se agradecería cualquier ayuda para solucionar esto.

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Esto es lo que he hecho hasta ahora.

Mostrar la verdad para $N = 1$

Lado izquierdo = 1

Lado derecho = $\frac{1}{2} (1) (1+1) = 1$

Supongamos que la verdad para $N = k$

$$1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{1}{2} k(k+1)$$

Prueba de que la ecuación es verdadera para $N = k + 1$

$$1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1)$$

Que es igual a

$$\frac{1}{2} k (k + 1) + (k + 1)$$

Aquí es donde estoy atascado, no sé qué más hacer. La respuesta debería ser:

$$\frac{1}{2} (k+1) (k+1+1)$$

Que es igual a:

$$\frac{1}{2} (k+1) (k+2)$$

¿Verdad?

Por cierto perdón por el formato, aún soy nuevo.

Answer 1

El álgebra básica es lo que está causando los problemas: has llegado al punto

$$\frac{1}{2}K\color{red}{(K+1)}+\color{red}{(K+1)}\;\;\;\:(**)$$

Ahora sólo hay que tener en cuenta los términos rojos:

$$(**)\;\;\;=\color{red}{(K+1)}\left(\frac{1}{2}K+1\right)=\color{red}{(K+1)}\left(\frac{K+2}{2}\right)=\frac{1}{2}(K+1)(K+2)$$

Answer 2

¿Conoces el funcionamiento de la inducción? Primero demostramos este teorema para $n=1$ . Esto es así porque $$1 = \frac{1\cdot 2}{2}$$

Supongamos ahora que esto es cierto para todos los valores inferiores a $n$ tratamos de demostrar que es cierto para $n$ . Tenemos $$1+2+\cdots+n-1+n = \frac{n\cdot (n-1)}{2}+n\\ =\frac{n\cdot (n-1)+2n}{2} = \frac{n^2+n}{2}= \frac{n(n+1)}{2}$$

Así que es cierto para $n=1$ y si es verdadera para todos los valores menores que algún número, es verdadera para ese número, lo que significa que es verdadera para todos los números.

Answer 3

Piensa en emparejar los números de la serie. El primero y el último (1 + n) el segundo y el penúltimo (2 + (n - 1)) y piensa en lo que ocurre en los casos en que n es impar y n es par.

Si es par, acabas con n/2 pares cuya suma es (n + 1) (o 1/2 * n * (n +1) total)

Si es impar acabas con (n-1)/2 pares cuya suma es (n + 1) y un elemento impar igual a (n-1)/2 + 1 ( o 1/2 * (n - 1) * (n + 1) + (n - 1)/2 + 1 que sale lo mismo con un poco de álgebra).

Answer 4

Sólo tienes que sacar tu placa a prueba de inducción:

• ¿Cuál es el caso base ( $n = 0$ ¿se supone que es así?) ¿Funciona la fórmula?
• Ahora el paso de la inducción: Si la fórmula es verdadera para $n$ y demostrar que es válida para $n + 1$ . En este caso (como en muchas sumas) se trata simplemente de tomar la identidad para $n$ y añadir el siguiente término a ambos lados. El lado izquierdo ya es lo que quieres, el lado derecho probablemente necesita algún masaje para ponerlo en la forma correcta en términos de $n + 1$ .

Los detalles se dejan como ejercicio ;-)