¿Existe una función divergente más lenta?

Question

Así que he estado jugando con algunas funciones por un tiempo, y comenzó a preguntarse acerca de una función divergente más lento(como en $\lim_{x\to\infty} f(x)\to\infty$ ), así que busqué por ahí una respuesta.

Veo que hay formas de construir una nueva función que necesariamente diverge más despacio que la original. Pero entonces se me ocurrió que realmente se parece a las propiedades de un conjunto abierto en el que no hay ningún elemento más pequeño en $(0,\infty)$ .

Así que la pregunta es la siguiente, ¿es posible definir recursivamente una función $f(x)$ tal que $\lim_{x\to\infty} f(x)\to\infty$ y $$ (\forall g(x) \neq f(x), \lim_{x\to\infty} g(x)\to\infty) \lim_{x\to\infty} {g(x)\over f(x)}\to\infty $$ Como ejemplo de función definida recursivamente, considere $$ f(x)={x^{1\over f(x)}\over ln(x)} $$ que no tengo ni idea de cómo se comporta.

La razón por la que hago hincapié en la recursividad es porque a pesar de no tener el elemento más pequeño en $(0,\infty)$ Los elementos pueden acercarse arbitrariamente a los puntos finales, y para hacer eso con una función, supongo que la recursividad es el camino a seguir.

Answer 1

No hay tal $f$ existe. Si $f$ es cualquier función tal que $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ consideremos la función $\log(f)$ . Tenemos que $\lim_{x \to \infty} \log(f(x)) = \infty$ . Pero la función $\log(f)$ diverge más lentamente que $f$ porque tenemos que $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(f(x))}{f(x)}=0$ .

Tu idea de la recursividad plantea otro punto interesante. Podemos definir recursivamente un secuencia de funciones $f_n$ como sigue: $f_0(x)=x$ y $f_{n+1}(x)=\log f_n(x)$ . Entonces $f_{n+1}$ siempre diverge más lentamente que $f_n$ . Entonces cabe preguntarse: para cualquier función $f$ tal que $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ ¿existe $n \in \mathbb{N}$ tal que $f_n$ diverge más lentamente que $f$ ??

La respuesta sigue siendo no. Para demostrarlo, construiremos una función $f$ que diverge más lentamente que todas las $f_n$ . Sea $a_1=1$ . Supongamos que $a_1 < \cdots < a_n$ se han construido de forma que $f_{i+1}(a_{i+1})>\frac{1}{i}+f_i(a_i)$ para todos $1 \leq i \leq n-1$ . A continuación, elija $a_{n+1}>a_n$ tal que $f_{n+1}(a_{n+1})>\frac{1}{n}+f_n(a_n)$ [tal $a_{n+1}$ existe ya que $f_{n+1}$ diverge]. Continuando inductivamente, obtenemos una secuencia $(a_n)$ tal que $f_n(a_n) \to \infty$ . Definir una función $f$ interpolando todos los puntos $(a_n, f_n(a_n))$ . A continuación, puede comprobar que $\lim_{x \to \infty} f(x)= \infty$ pero $f$ diverge más lentamente que todas las $f_n$ .

Podemos hacer una construcción similar para demostrar que para cualquier colección contable de funciones divergentes, podemos encontrar una función que diverge más lentamente que todas ellas (lo que es más fuerte que tu pregunta original, relativa a una sola función).

Answer 2

Lo que tú llamas "definición recursiva" no es realmente una definición, es una fórmula que puede ser satisfecha por una, varias o ninguna función.

Tu pregunta parece un poco contradictoria: en el segundo párrafo dices que sabes que no existe la función más lenta, ya que siempre se puede construir una más lenta, e inmediatamente después pides una función más lenta a pesar de todo. El hecho de que tengas un método novedoso para definir una función no cambia el hecho de que no esa función más lenta existe, como has dicho en tu primer párrafo. El hecho de que se pueda siempre construir una función más lenta significa que ni siquiera necesita considerar nuevos métodos para definir su función, porque la palabra operativa es siempre . Sería un poco como si me demostraras que ningún número racional $a$ satisface $a^2=2$ y yo dije "vale, pero ¿y si utilizo un realmente grande denominador?". Usted respondería simplemente: "He dicho no número racional".

Por otra parte, como se explica en la respuesta de Shalop, si se está dispuesto a relajar la definición de la función "más lenta", la idea de definir una secuencia de funciones mediante una relación de recurrencia puede dar algunos resultados interesantes. Una relación muy sencilla sería $f_{n+1} = \sqrt[3] {f_n}$ . Mientras $f_0$ diverge entonces también lo hacen todos $f_n$ y cada una converge más lentamente que la anterior.

Answer 3

Permítame intentar relacionar una de sus preguntas con otra. Como ha dicho Shalop, no existe tal función. Esto se puede ver, por ejemplo, de la siguiente manera. Sea $f(x)$ sea una función (positivamente) divergente - una función tal que $\lim\limits_{x\to\infty} f(x) = \infty$ . Dado que puede definir $g(x) := \log f(x)$ que diverge más lentamente que $f(x)$ siempre existe una función "menos divergente, pero divergente". Por lo tanto, no puede existir una función "menos divergente".

Esta cuestión es exactamente similar a las propiedades de un conjunto abierto, donde, por ejemplo, el intervalo $(0, \infty)$ no tiene el elemento más pequeño. La derivada de una función mide su tasa de cambio - una función cuya derivada es muy positiva en un punto $x$ aumenta muy rápidamente en ese punto. Ahora, si pensamos en funciones $f(x)$ como $x, \log x, \log(\log x), \ldots$ entonces podemos ver cómo se comportan sus derivados.

Para que una función de este tipo stop siendo divergente, intuitivamente, necesitamos que se nivele en algún punto. Es decir, su derivada -su tasa de cambio- debe ser menor o igual que cero. Al fin y al cabo, en cuanto la derivada pasa por cero, la función ya no se dirige hacia $+\infty$ . En particular, el intervalo de valores tal que $f(x)$ ya no se dirige hacia $+\infty$ tiene y punto final: $(-\infty, 0]$ . A saber, el intervalo $(0, \infty)$ es el intervalo de valores para el que $f(x)$ seguirá dirigiéndose hacia el infinito: ¡es un intervalo abierto!

De acuerdo, la descripción que he hecho es muy poco rigurosa y sólo se refiere a funciones crecientes. Para tratar funciones como $x\exp(\sin(x))$ o $|x \sin(x)|$ necesitaríamos un enfoque diferente. Cada uno sigue tendiendo a $+\infty$ como $x \to \infty$ pero sus derivadas fluctúan entre valores positivos y negativos. Para utilizar el mismo enfoque, podríamos fijarnos en el mayor valor de estas funciones hasta ahora : el función envolvente

$E(x) := \sup\limits_{0\leq y\leq x} f(x).$

Observe que $E(x)$ es ahora una función creciente: para todo $x_2 \geq x_1 \geq 0$ , $E(x_2)\geq E(x_1)$ . Entonces, para $f(x)$ no sea una función divergente, requerimos que $\lim\limits_{x\to\infty} E(x) < \infty$ . Pero esto sólo puede ocurrir si hay algún punto $x_0$ pasado que $E(x)$ deja de aumentar - es decir

Existe $x_0 \geq 0$ tal que no exista $x > x_0$ con $E(x) > E(x_0)$ . Si esto es cierto, entonces hay un intervalo $I = (a,\infty)$ tal que $E(x) \equiv 0$ en $I$ . Esto significa que $E(x)$ vuelve a tomar valores en el intervalo cerrado $(-\infty, 0]$ de modo que $f(x)$ no puede tender a $+\infty$ .