Errores comunes de matemáticas hechas por los científicos

Question

Soy un matemático mediante la capacitación de trabajar con un físico. Me han invitado a dar una hora de tutorial/presentación a la entrada de los estudiantes de posgrado. Estos estudiantes son los que vienen con las ciencias físicas y de fondos de proceder en física ciencias como la física, la química, la física, la astronomía, etc.

Una de las cosas que siempre me ha sorprendido es cómo insensible vienen los científicos puede ser con el uso de los resultados matemáticos/ideas/teoremas sin la plena comprensión de los supuestos necesarios y, a continuación, misapplying el resultado/idea/teorema y, a continuación, también la interpretación errónea de los resultados.

Dos de mis ejemplos favoritos son

1. Cuando se ajusta a una ley de potencia, convertir los datos de registro-registro y ajuste de una línea recta. Esto es simplemente incorrecto, porque por mínimos cuadrados el ajuste, asumimos que el error se distribuye normalmente. En log-log espacio obtenemos log-normal de distribución de error. Y no es que difícil construido un ejemplo que se muestran totalmente diferentes respuestas. Este es activamente enseña en las aulas/laboratorios.

2. La incomprensión de $p$-valores, cómo generar y entender. He visto a gente con Excel/MATLAB y sólo utilizando los menús desplegables y haciendo estadístico de prueba después de la prueba sin ningún verdadera comprensión de cómo y cuándo aplicar la prueba y, a continuación, presentación de informes 50 $p$-valores de "responder" 50 preguntas diferentes sobre el mismo conjunto de datos y, a continuación, la publicación de ellos.

Así que mi pregunta es esta comunidad, qué tipo de errores comunes de matemáticas han visto que hacen los científicos? ¿Cuáles son algunos de los errores más comunes o el uso incorrecto has visto que los científicos hacen que te hacen temblar como un matemático? Pensé que este sería un buen tema para hablar con potencial de los investigadores y lo que quiero es tener un buen grupo de temas para hablar durante una hora. Además, si usted tiene un ejemplo, entonces si se puede me apunto a alguna buena literatura (papel/libro/sitio web) que muestra tal vez una prueba y/o ejemplos que puedo demostrar, eso sería maravilloso.

Espero que este suave-la pregunta no es inapropiado aquí. Gracias.

Answer 1

Suponiendo que la matemática de las fórmulas de mantener de forma numérica y, a continuación, llegar confrontado con las cancelaciones de dígitos significativos. Por el bien de su extraña regularidad, me gustaría presentar un ejemplo producidos por mi propia naivity.

Fig. (a) a continuación se muestra una fase de la trama de la (normalizado) modular discriminante $$\Delta(q) = q\prod_{n=1}^\infty(1-p^n)^{24}\quad\text{para}\quad |q|<1$$ más de $q$ en el complejo de la unidad de disco. Usted notará efecto Moiré, pero estos no son los artefactos voy a discutir aquí.

Tenga en cuenta que $\Delta(q^2)$ puede ser expresada en términos de Jacobi Thetanull funciones: $$\Delta(q^2) = 2^{-8} \vartheta_2^8(q)\,\vartheta_3^8(q)\,\vartheta_4^8(q)$$ Estos están relacionados por Jacobi del Vierergleichung $$\vartheta_3^4(q) = \vartheta_2^4(q) + \vartheta_4^4(q)$$ La tonta idea era utilizar el Vierergleichung para eliminar $\vartheta_4^4(q)$, dando $$\Delta(q^2) = \left(2^{-4} \vartheta_2^4(q)\,\vartheta_3^4(q) \left(\vartheta_3^4(q)-\vartheta_2^4(q)\right)\right)^2\etiqueta{*}$$

El problema es que como $q\1$, el Thetanull $\vartheta_4(q)\to0$ mientras que los otros dos Thetanulls crecer ilimitadamente. Por lo tanto (*) se utiliza cada vez más pequeña diferencia de los dos cada vez más complejo de valores y de pronto pierde precisión numérica. El resultado, calculada con el estándar IEEE-754 de doble precisión de la aritmética, se muestra en la Fig. (b) a continuación. Algunos de los artefactos a las características pueden ser fácilmente entendidos, los demás son todavía un misterio para mí. Resoluciones más grandes están disponibles a petición.

Answer 2

La suposición de que si $X$ es una distribución con "propiedades deseadas" entonces es de $f(X)$. Aquí el "propiedades deseadas" puede significar algo así como "uniforme en el intervalo [0,1]" y $f(x)$ es a menudo algo así como $x^2$.

La tendencia a invertir una matriz para resolver un sistema lineal. En particular, "¿por qué MATLAB explotó la memoria" queja a menudo es causada por la suposición de que la inversa de una matriz dispersa es también escasa.

La falta de apreciación de la magnitud de la acumulación de errores de redondeo, implícito en el supuesto de que las soluciones numéricas son "suficientemente precisa". Este famoso causado 28 víctimas cuando de misiles Patriot falló en su objetivo, debido a redondeo de acumulación.

Answer 3

Que un intervalo de confianza del 95% se puede interpretar como "la probabilidad es de que $\theta$ en el intervalo es el 95%". Con un enfoque frecuentista, es 0 o 1, y en su lugar usamos la interpretación (algo vaga) de confianza. Pero mucha gente no sabe, o conseguirlo.