El cálculo de $\sum_{k=1}^nk(k!)$ combinatoria

Question

La suma de $\sum_{k=1}^nk(k!)$ puede ser fácilmente calculada por señalar $k(k!)=(k+1)!-k!$. Es allí una manera de calcular la suma bien mediante una combinatoria argumento. Es posible que note es $(n+1)!-1$ combinatoria?

Answer 1

Voy a explicar en el caso de $n=4$, a continuación, voy a sustituir por caso general. Suponga que usted desea escribir un número de 5 dígitos por números 1,2,3,4,5 excepto 12345. El número de posibles números es 5!-1. De hecho, la escritura de un número de 5 dígitos por 1,2,3,4,5 tiene 5! posibilidades y borramos 1 caso.

Ahora cuentan en esta forma;

• Algunos de ellos pueden ser escritas con 5 no se 5to. Lo del 5 tenemos 4 puestos y los otros 4 números se deben poner en 4 lugares por 4! posibilidades para 4(4!)
• El resto de los casos 5, deberán permanecer en la 5ª posición así que de nuevo se dividen para dos casos. La primera, 4 no en la 4ª posición de modo que 4 tiene que estar en 1ª, 2ª o 3ª posición por 3 opciones, a continuación, 1,2,3 se tienen que poner a los 2 quedaron las posiciones de la 1ª, la 2ª y la 3ª que es la 4, no hay más 4ª posición que está vacío por 3! la forma de este ser hecho por 3(3!).
• El resto de los casos son los que 5 es en la 5 y la 4 se encuentra en la 4ª posición. De nuevo se dividen en dos casos. En primer lugar, 3 no se encuentra en la 3ª posición, así que tenemos 2 elección para que, en 1ª o 2ª posición. 1 y 2 ahora puede sentarse en el mantuvo la posición de 1º y 2º de los cuales 3 no es más la 3ª posición, por lo que pueden colocarse en el resto de los posibles lugares por 2!. Por lo que el número de números que se producen aquí son 2(2!).
• Ahora el se mantuvo en posibilidades, 5 en 5, 4 está en el 4º, 3 es en la 3ª posición. Como no queremos 12345. Así que 2 debe estar en el 1 (1 a elección) y 1 deben estar en la 2ª (1!=1 opción) modo 1(1!).

Por el segundo método contamos posible solicitado números como esta suma 4(4!)+3(3!)+2(2!)+1(1!). Y como nos fueron contando lo mismo por lo tanto tenemos que (4+1)!-1=5!-1=4(4!)+3(3!)+2(2!)+1(1!).

El caso general es el mismo al contar el número de n+1 dígitos de los números con n+1 (ordenada) del alfabeto, excepto $\overline{123...n(n+1)}$.