$[F(t):F(t^n)]=n$ donde $t$ es trascendental

Question

Deje $F$ ser un campo y dejar a $t$ ser trascendental $F$. Demostrar que $[F(t):F(t^n)]=n$. Obviamente $[F(t):F(t^n)]\le n$ desde el polinomio $f(x)=x^n-t^n \in F(t^n)$ $t$ como una raíz. Pero no sé cómo demostrar que es irreducible sobre $F(t^n)$. Traté de considerar que $t$ es trascendental para deducir algunas relaciones algebraicas sobre$F$$t$. Pero no funcionó.

Answer 1

Mostrar que $1,t,t^2,\cdots,t^{n-1}$ son linealmente independientes sobre $F(t^n)$. (La prueba por contradicción: si linealmente dependiente, entonces usted puede encontrar un polinomio sobre $F$ ha $t$ como root).

Answer 2

No es el mejor método, pero podemos hacer esto con el criterio de Eisenstein:

Si $s=t^n$, $X^n-s$ es irreductible como un polinomio con coeficientes en $F[s]$, debido a $s$ es primo, el polinomio no principales términos son todos divisibles por $s$, y el término constante no es divisible por $s^2$. Por Gauss, lema, es irreducible sobre $F(s)$.

Answer 3

Tome una extensión de $F$ que contiene un $n$ th raíz de la unidad, luego de que su reclamo es claro para esta extensión, ya que se ha $n$ conjugados. Ahora deducir su resultado para $F$ desde el grado sólo puede disminuir el bajo y la extensión.