Dado un espacio métrico $(X, d)$, ¿cómo se prueba que la función $d \colon X \times X \to \mathbf{R}$ es continua?
Si tomamos dos números reales arbitrarios $a$ y $b$ tal que $a < b$, entonces necesitamos mostrar que el conjunto $d^{-1} (a,b)$ dado por
$$ d^{-1} (a,b) := \{ (x, y) \in X \times X | a < d(x,y) < b \} $$
es abierto en la topología del producto en $X \times X.
Una base para esta topología de producto es la colección de todos los productos cartesianos de bolas abiertas en $(X, d)$.
Para $a, b ∈ ℝ$, deja $(x,y) ∈ d^{-1} (a..b)$, es decir $a < d(x,y) < b. Ahora elige $ε$ de modo que $U_{2ε} (d(x,y)) ⊂ (a..b)$ y mira $U_ε (x) × U_ε (y).
Para cualquier tupla de puntos $(x',y') ∈ U_ε (x) × U_ε (y)$ tienes $$d(x',y') ≤ d(x',x) + d(x,y) + d(y,y') < d(x,y) + 2ε$$ así como $$d(x,y) ≤ d(x,x') + d(x',y') + d(y',y) < d(x',y') + 2ε$$ Esto significa que $a < d(x,y) - 2ε < d(x',y') < d(x,y) + 2ε < b$.
Por lo tanto $U_{ε} (x) × U_{ε} (y) ⊂ d^{-1} (a..b).
Lo siento, no reconocí la notación, pero ¿por $(a..b)$ te refieres al conjunto de todos los números reales de $a$ a $b$ exclusivo (es decir, el intervalo abierto)?
Sí, es una notación introducida por Knuth, creo. Es bastante útil. Evita la confusión de considerar $(a,b)$ tanto como una tupla como un intervalo abierto. Consulta la publicación de buenas notaciones en mathoverflow.
Entonces, en el espacio métrico $X$, ¿podemos tomar cualquier punto $x, y$ tal que $d(x,y)=k$ con cualquier $k$ dado en $\mathbb{R}$?
Sea $(x,y)\in d^{-1}(a,b)$. Define $\epsilon=\frac{1}{100}\min(d(x,y)-a,b-d(x,y))$. Entonces para cualquier punto $(\xi,\gamma)\en B(x,\epsilon)\times B(y,\epsilon)$, tenemos $${\color{blue} d(\xi,\gamma) }\leq d(\xi,x)+d(x,y)+d(y,\gamma)<2\epsilon+d(x,y)<{\color{blue}b}$$ y $${\color{blue} a} Es decir $$(x,y)\en B(x,\epsilon)\times B(y,\epsilon)\subseteq d^{-1}(a,b).$$
Por lo tanto, cualquier punto $(x,y)\en d^{-1}(a,b)\subseteq X\times X$ está rodeado por algún conjunto abierto contenido en $d^{-1}(a,b)$.
(Después de escribir esta respuesta, me di cuenta de que es EXACTAMENTE igual a la respuesta de @k.stm; así que también gracias por su contribución. Supongo que será difícil escribir una diferente.)
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Ver también: ¿Es continua la función de mapeo $d: X \times X \to \mathbb {R}$?, La métrica es una función continua, Continuidad entre la métrica d con respecto a la topología de producto.