El Valor esperado de $X \sin(X)$ $X$ normalmente distribuida

Question

Quiero resolver el siguiente valor esperado problema. Vamos a decir $X$ está normalmente distribuida de tal manera que $X \sim N(m,s^2)$. Quiero encontrar el valor esperado,

$$E[X\sin(X)]$$

que es igual a

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi s^2}} \int_{-\infty}^\infty \exp(\frac{_{-(x-m)^2}}{^{2s^2}})\, x\,\sin(x)\, dx$$

¿Alguien tiene una idea de cómo simplificar esto?

EDIT: gracias chicos por ayudarme!

Answer 1

Como muchos de los ejercicios que involucran funciones trigonométricas, el truco es usar números complejos, es decir, $\int(\sin(x))\mathrm{d}x = \int Im(e^{ix})\mathrm{d}x = Im(\int e^{ix} \mathrm{d}x)$ aquí.

Saber, la suma se convierte en \begin{align} I \triangleq \mathbb{E}[X\sin(X)] = Im \left( \int_{\mathbb{R}} x e^{ix} e^{-\frac{1}{2\sigma^2} (x-\mu)^2} \mathrm{d}x \right) . \end{align}

Para calcular esta suma, tenemos que factorise los dos exponencial de los términos. Una regla general para el cálculo de este tipo es que una gaussiana estancias de gauss cuando se multiplica por un término exponencial de la forma $e^{ax}$. Me deja usted hace la matemáticas, pero uno puede escribir \begin{equation} -\frac{1}{2\sigma^2} (x-\mu)^2 + ix = -\frac{1}{2 \sigma^2}\big( x- (\mu+i\sigma^2) \big)^2 + i\mu - \frac{\sigma^2}{2} . \end{equation}

Entonces, en el reconocimiento a la expectativa de una nueva distribución de gauss \begin{align} I =& Im \left( e^{-\frac{\sigma^2}{2} + i\mu} \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} x e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x - \mu - i\sigma^2)^2} \mathrm{d}x \right) \\ =& Im \left( e^{-\frac{\sigma^2}{2} + i\mu} \times (\mu + i \sigma^2) \right) \\ =&e^{-\frac{\sigma^2}{2}} \times \left( \sigma^2 \cos(\mu) + \mu \sin(\mu) \right), \end{align}

que corresponde a wolfies la respuesta.

Answer 2

¿Has probado un sistema de álgebra computacional? Aquí $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ con pdf $f(x)$:

Aquí está la salida de mathStatica / Mathematica: