Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico compacto y $f$ ser continua en $X$, muestran que no existe no vacío, cerrado subconjunto $A$ $X$ tal que $f(A)=A$
Por eso, $f$ será uniforme continua, pero, ¿cómo ayudar?
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Deje $C_0=X$ $C_{n+1}=f(C_n)$ todos los $n$. Por inducción, tenga en cuenta que $C_n\supseteq C_{n+1}$ todos los $n$. Deje $C=\bigcap_n C_n$, y tenga en cuenta que $C$ es no vacío, siendo la intersección de una disminución de la secuencia de vacío compacto conjuntos.
Para comprobar que el $f(C)=C$, considere la posibilidad de un punto de $x\in C$. Desde $x\in C_{n+1}$ todos los $n$, luego están los puntos de $x_n\in C_n$ $x=f(x_n)$ todos los $n$. Por la compacidad de $X$, hay una larga $(x_{n_k})_{k\in\mathbb N}$ $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ que converge a un punto en $X$, se $y$. Para cada una de las $m$, la cola larga $(x_{n_k})_{k\ge m}$ está contenida $C_m$ (desde el $C_n$ están disminuyendo), y por lo tanto también lo es su límite de $y$. Esto significa que $y\in \bigcap_n C_n=C$. Por último, desde el $f$ es continua y $f(x_{n_k})=x$ todos los $k$,$f(y)=x$. Esto demuestra que $x\in f(C)$, y, por tanto, que el $C\subseteq f(C)$.
Por otro lado, si $t\in f(C)$, entonces no es un punto de $z\in C$$t=f(z)$. Desde $z\in C_n$ por cada $n$, $t\in C_{n+1}$ todos los $n$. Claramente, $t\in C_0=X$, así que $t\in C$. Esto demuestra que $f(C)\subseteq C$, y por lo tanto que, de hecho,$C=f(C)$, como se desee.
Permítanme concluir con una observación general. Un completo entramado es un conjunto parcialmente ordenado tal que cada subconjunto tiene un supremum y un infimum. Si $(P,\le)$ es un orden parcial, en función de la $g:P\to P$ es el fin de preservar el fib siempre $x\le y$$P$,$g(x)\le g(y)$. El Knaster-teorema de Tarski afirma que si $(L,\le)$ es un completo entramado, y $\pi:L\to L$ es el fin de preservar, a continuación, $\pi$ admite un punto fijo y, de hecho, el conjunto de puntos fijos de $\pi$ también constituye una completa red.
Es fácil comprobar que si $X$ es un espacio métrico compacto, entonces la colección de $K(X)$ de subconjuntos cerrados de $X$, parcialmente ordenado por la inclusión, la forma un completo entramado: El infimum de una colección de conjuntos cerrados es su intersección, y su supremum es el cierre de su unión. si $f:X\to X$ es continua, entonces podemos ver a $f$ como una función de mapeo cerrado subconjuntos $D$ $X$ a sus pointwise imagen $f(D)$, y de esta manera podemos considerar $f$ como un mapa de $K(X)$ a sí mismo, que es, obviamente, la orden de preservación. De ello se desprende que la colección de conjuntos cerrados $A$ tal que $f(A)=A$ formas de una completa red (en este caso particular, por supuesto, puede ser verificada directamente sin tener que pasar por la prueba del teorema general). Su valor mínimo es el conjunto vacío, y su máxima es el conjunto $C$ hemos construido en el primer párrafo.
Nimda
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Este boceto de una prueba se basa en el "especial" de la definición de compactedness en la métrica de un espacio métrico compacto espacios. Tomar cualquier punto en $x\in X$ y considerar la secuencia de $f(x), f(f(x)), \ldots$, entonces hay una larga que converge a un punto de $x_0$$A= \{x_0\}$.
